बताइए कि निम्नलिखित में से प्रत्येक कथन सत्य है या असत्य:
$(1)$ एक वर्ग में,यदि प्रत्येक भुजा की लंबाई $20 \, cm$ है,तो इसके विकर्ण की लंबाई $20 \sqrt{2} \, cm$ होती है।
$(2)$ यदि एक समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुजा को दोगुना कर दिया जाए,तो त्रिभुज का क्षेत्रफल मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल का दोगुना हो जाता है।

(A) $(1)$ सत्य: $a$ भुजा वाले वर्ग के विकर्ण $d$ का सूत्र $d = a \sqrt{2}$ होता है। $a = 20 \, cm$ के लिए,$d = 20 \sqrt{2} \, cm$ होगा। अतः,यह कथन सत्य है।
$(2)$ असत्य: $a$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ होता है। यदि भुजा को दोगुना $(a' = 2a)$ कर दिया जाए,तो नया क्षेत्रफल $A'$ होगा $A' = \frac{\sqrt{3}}{4} (2a)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (4a^2) = 4 \times A$। क्षेत्रफल मूल क्षेत्रफल का $4$ गुना हो जाता है,न कि दोगुना।