योगफल sum_{n=1}^{21} frac{3}{(4n-1)(4n+3)} का | vedclass

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Question

(B) हम सामान्य पद को सरल बनाने के लिए आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करते हैं: $\frac{3}{(4n-1)(4n+3)} = \frac{3}{4} \left( \frac{1}{4n-1} - \frac{1}{4n+3}

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{7}{29}$

Vedclass · Answer

(B) हम सामान्य पद को सरल बनाने के लिए आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करते हैं: $\frac{3}{(4n-1)(4n+3)} = \frac{3}{4} \left( \frac{1}{4n-1} - \frac{1}{4n+3} ight)$ अब,योगफल को इस प्रकार लिखते हैं: $\sum_{n=1}^{21} \frac{3}{(4n-1)(4n+3)} = \frac{3}{4} \sum_{n=1}^{21} \left( \frac{1}{4n-1} - \frac{1}{4n+3} ight)$ योगफल का विस्तार करने पर,हमें एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी प्राप्त होती है: $= \frac{3}{4} \left[ \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{7} ight) + \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{11} ight) + \dots + \left( \frac{1}{83} - \frac{1}{87} ight) ight]$ सभी मध्यवर्ती पद कट जाते हैं,शेष बचता है: $= \frac{3}{4} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{87} ight)$ $= \frac{3}{4} \left( \frac{29 - 1}{87} ight) = \frac{3}{4} 	imes \frac{28}{87}$ $= \frac{3 	imes 7}{87} = \frac{21}{87} = \frac{7}{29}$

योगफल $\sum_{n=1}^{21} \frac{3}{(4n-1)(4n+3)}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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