प्रथम चतुर्थांश में स्थित और X-अक्ष,सरल रेखा | vedclass

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Question

(A) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 4$ है,जो केंद्र $(0, 0)$ और त्रिज्या $r = 2$ वाला एक वृत्त है। रेखा का समीकरण $x - \sqrt{3}y = 0$ है,अर्थात $x = \sqr

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$\frac{\pi}{3}$

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(A) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 4$ है,जो केंद्र $(0, 0)$ और त्रिज्या $r = 2$ वाला एक वृत्त है। रेखा का समीकरण $x - \sqrt{3}y = 0$ है,अर्थात $x = \sqrt{3}y$। प्रथम चतुर्थांश में प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x = \sqrt{3}y$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर: $(\sqrt{3}y)^2 + y^2 = 4 \implies 3y^2 + y^2 = 4 \implies 4y^2 = 4 \implies y^2 = 1$। प्रथम चतुर्थांश में होने के कारण,$y = 1$ प्राप्त होता है। अतः $x = \sqrt{3}(1) = \sqrt{3}$। प्रतिच्छेदन बिंदु $(\sqrt{3}, 1)$ है। प्रथम चतुर्थांश में $X$-अक्ष,रेखा और वृत्त द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल: क्षेत्रफल $= \int_0^{\sqrt{3}} \frac{x}{\sqrt{3}} dx + \int_{\sqrt{3}}^2 \sqrt{4 - x^2} dx$। प्रथम समाकलन का मान: $\frac{1}{\sqrt{3}} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{3}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$। द्वितीय समाकलन का मान: $\int_{\sqrt{3}}^2 \sqrt{2^2 - x^2} dx = \left[ \frac{x}{2} \sqrt{4 - x^2} + \frac{4}{2} \sin^{-1} \left( \frac{x}{2} \right) \right]_{\sqrt{3}}^2$। $= \left( \frac{2}{2} \sqrt{4 - 4} + 2 \sin^{-1}(1) \right) - \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{4 - 3} + 2 \sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \right)$। $= (0 + 2 \cdot \frac{\pi}{2}) - (\frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \frac{\pi}{3}) = \pi - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$। दोनों भागों को जोड़ने पर: $\frac{\sqrt{3}}{2} + (\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$ वर्ग इकाई।

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