x-अक्ष के ऊपर उस क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात क | vedclass

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Question

(A) दिया गया वक्र $y = 	an x$ है ... $(1)$जब $x = \frac{\pi}{4}$,तब $y = 	an(\frac{\pi}{4}) = 1$. अतः,स्पर्श बिंदु $P(\frac{\pi}{4}, 1)$ है।अवकलन $\

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$\frac{1}{2}\left( \log 2 - \frac{1}{2} \right)$

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(A) दिया गया वक्र $y = 	an x$ है ... $(1)$जब $x = \frac{\pi}{4}$,तब $y = 	an(\frac{\pi}{4}) = 1$. अतः,स्पर्श बिंदु $P(\frac{\pi}{4}, 1)$ है।अवकलन $\frac{dy}{dx} = \sec^2 x$ है। $x = \frac{\pi}{4}$ पर,ढाल $m = \sec^2(\frac{\pi}{4}) = 2$ है।$P$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $y - 1 = 2(x - \frac{\pi}{4})$ है,जो सरल होकर $y = 2x + 1 - \frac{\pi}{2}$ हो जाता है ... $(2)$.स्पर्शरेखा का $x-$अंतःखंड $y = 0$ रखकर प्राप्त किया जा सकता है: $0 = 2x + 1 - \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{\pi - 2}{4}$. इस बिंदु को $L(\frac{\pi - 2}{4}, 0)$ कहें।क्षेत्र का क्षेत्रफल $x = 0$ से $x = \frac{\pi}{4}$ तक वक्र $y = 	an x$ के नीचे का क्षेत्रफल और स्पर्शरेखा,$x-$अक्ष और ऊर्ध्वाधर रेखा $x = \frac{\pi}{4}$ द्वारा बने त्रिभुज के क्षेत्रफल का अंतर है।क्षेत्रफल $= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 	an x \, dx - \Delta PLM$ का क्षेत्रफल$= [\log |\sec x|]_{0}^{\frac{\pi}{4}} - \frac{1}{2} 	imes 	ext{आधार} 	imes 	ext{ऊंचाई}$$= \log(\sec \frac{\pi}{4}) - \log(\sec 0) - \frac{1}{2} 	imes (\frac{\pi}{4} - \frac{\pi - 2}{4}) 	imes 1$$= \log(\sqrt{2}) - 0 - \frac{1}{2} 	imes (\frac{2}{4}) = \frac{1}{2} \log 2 - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}(\log 2 - \frac{1}{2})$ वर्ग इकाई।

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