$(1 + x)^2 (1 + x^2)^3 (1 + x^3)^4$ के विस्तार में $x^{10}$ का गुणांक क्या है?

यदि $(1+x+x^2+x^3)^{100}$ के विस्तार में $x^r$ का गुणांक $a_r$ है,और $S = \sum_{r=0}^{300} a_r$ है,तो $\sum_{r=0}^{300} r \cdot a_r =$

एक वास्तविक संख्या $x$ का भिन्नात्मक भाग $x - [x]$ के रूप में परिभाषित है,जहाँ $[x]$ वह सबसे बड़ा पूर्णांक है जो $x$ से कम या उसके बराबर है। मान लीजिए $F_1$ और $F_2$ क्रमशः $(44 - \sqrt{2017})^{2017}$ और $(44 + \sqrt{2017})^{2017}$ के भिन्नात्मक भाग हैं। तब,$F_1 + F_2$ किन संख्याओं के बीच स्थित है?

यदि $\left(1+\frac{1}{x}\right)^6\left(1+x^2\right)^7\left(1-x^3\right)^8 ; x \neq 0$ के विस्तार में $x^{30}$ का गुणांक $\alpha$ है,तो $|\alpha|$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $(1+x+x^2+x^3)^5 = \sum_{k=0}^{15} a_k x^k$ है, तो $\sum_{k=0}^7 (-1)^k a_{2k}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $C_{r}$,$(1+x)^{10}$ के विस्तार में $x^{r}$ का द्विपद गुणांक है। यदि $\alpha, \beta \in R$ है और $C_{1}+3 \cdot 2 C_{2}+5 \cdot 3 C_{3}+\ldots$ ($10$ पदों तक) $= \frac{\alpha \times 2^{11}}{2^{\beta}-1} \left( C_{0}+\frac{C_{1}}{2}+\frac{C_{2}}{3}+\ldots \right.$ ($10$ पदों तक) $)$,तो $\alpha+\beta$ का मान ज्ञात कीजिए।