(1 + x)^{21} + (1 + x)^{22} + dots + (1 + x)^ | vedclass

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Question

(C) दी गई अभिव्यक्ति एक गुणोत्तर श्रेणी है: $S = (1 + x)^{21} + (1 + x)^{22} + \dots + (1 + x)^{30}$.यहाँ,प्रथम पद $a = (1 + x)^{21}$,सार्व अनुपात $r

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$^{31}C_6 - ^{21}C_6$

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(C) दी गई अभिव्यक्ति एक गुणोत्तर श्रेणी है: $S = (1 + x)^{21} + (1 + x)^{22} + \dots + (1 + x)^{30}$.यहाँ,प्रथम पद $a = (1 + x)^{21}$,सार्व अनुपात $r = (1 + x)$,और पदों की संख्या $n = 10$ है।योग सूत्र $S = a \frac{r^n - 1}{r - 1}$ का उपयोग करने पर:$S = (1 + x)^{21} \left[ \frac{(1 + x)^{10} - 1}{(1 + x) - 1} \right] = \frac{1}{x} [(1 + x)^{31} - (1 + x)^{21}]$.$S$ में $x^5$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,हमें $\frac{1}{x} [(1 + x)^{31} - (1 + x)^{21}]$ में $x^5$ का गुणांक ज्ञात करना होगा।यह $[(1 + x)^{31} - (1 + x)^{21}]$ में $x^6$ के गुणांक को ज्ञात करने के बराबर है।$(1 + x)^{31}$ में $x^6$ का गुणांक $^{31}C_6$ है और $(1 + x)^{21}$ में $^{21}C_6$ है।अतः,अभीष्ट गुणांक $^{31}C_6 - ^{21}C_6$ है।

$(1 + x)^{21} + (1 + x)^{22} + \dots + (1 + x)^{30}$ के विस्तार में $x^5$ का गुणांक है

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