एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या के उद्देश्य फलन $z = 3x + 5y$ का, बाधाओं $5x + 10y \leq 50$, $x + y \geq 1$, $y \leq 4$, $x \geq 0$, $y \geq 0$ के अंतर्गत, अधिकतम मान और न्यूनतम मान के बीच का अंतर $3\lambda$ है। तब $\lambda$ का मान है

असमिकाओं $2x + 3y \leq 6$,$x + 4y \leq 4$,$x \geq 0$ और $y \geq 0$ के हल समुच्चय में कोने के बिंदु के रूप में $\ldots$ बिंदु शामिल है।

एक उत्पादन इकाई तांबे और पीतल को मिलाकर एक विशेष प्रकार की मेटल चिप बनाती है। चिप का मानक वजन कम से कम $5 \text{ gms}$ होना चाहिए। मूल सामग्री,यानी तांबा और पीतल,की लागत क्रमशः $₹8$ और $₹5$ प्रति $\text{gm}$ है। स्थायित्व संबंधी विचारों के अनुसार,मेटल चिप में $4 \text{ gms}$ से अधिक पीतल नहीं होना चाहिए और इसमें कम से कम $2 \text{ gms}$ तांबा होना चाहिए। तो,उपरोक्त शर्तों को पूरा करने वाली मेटल चिप की न्यूनतम लागत है:

एक आहार विशेषज्ञ को दो खाद्य पदार्थों $P$ और $Q$ का उपयोग करके एक विशेष आहार विकसित करना है। खाद्य $P$ के प्रत्येक पैकेट $(30 \, g)$ में $12$ इकाई कैल्शियम,$4$ इकाई आयरन,$6$ इकाई कोलेस्ट्रॉल और $6$ इकाई विटामिन $A$ होता है। खाद्य $Q$ के प्रत्येक पैकेट में $3$ इकाई कैल्शियम,$20$ इकाई आयरन,$4$ इकाई कोलेस्ट्रॉल और $3$ इकाई विटामिन $A$ होता है। आहार में कम से कम $240$ इकाई कैल्शियम,कम से कम $460$ इकाई आयरन और अधिकतम $300$ इकाई कोलेस्ट्रॉल की आवश्यकता होती है। आहार में विटामिन $A$ की मात्रा को अधिकतम करने के लिए प्रत्येक खाद्य पदार्थ के कितने पैकेट का उपयोग किया जाना चाहिए? आहार में विटामिन $A$ की अधिकतम मात्रा क्या है?

$0 \leq x \leq 3$,$0 \leq y \leq 3$ और $x + y \geq 5$ के प्रतिबंधों के अधीन $z = 10x + 25y$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए:

$0 \leq x \leq 3$,$0 \leq y \leq 3$ और $x + y \leq 5$ के अंतर्गत $Z = 10x + 25y$ का अधिकतम मान किस बिंदु पर प्राप्त होता है?