आकृति में M द्रव्यमान और L आधार वाली एक समद्व | vedclass

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Question

(A) माना त्रिभुज की ऊँचाई $h$ है। चूँकि शीर्ष कोण $90^o$ है और त्रिभुज समद्विबाहु है,ऊँचाई $h$ आधार की लंबाई $L$ की आधी है। अतः,$h = L/2$ है।प्लेट का

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$\frac{ML^2}{8}$

Vedclass · Answer

(A) माना त्रिभुज की ऊँचाई $h$ है। चूँकि शीर्ष कोण $90^o$ है और त्रिभुज समद्विबाहु है,ऊँचाई $h$ आधार की लंबाई $L$ की आधी है। अतः,$h = L/2$ है।प्लेट का पृष्ठीय घनत्व $\sigma = \frac{M}{	ext{Area}} = \frac{M}{\frac{1}{2} 	imes L 	imes h} = \frac{M}{\frac{1}{2} 	imes L 	imes (L/2)} = \frac{4M}{L^2}$ है।$X$-अक्ष से $y$ दूरी पर $dy$ मोटाई की एक पतली पट्टी लें। इस पट्टी की लंबाई $l(y)$ शीर्ष $(y=0)$ पर $0$ से आधार $(y=h)$ पर $L$ तक रैखिक रूप से बदलती है।समरूप त्रिभुजों का उपयोग करते हुए,$l(y) = \frac{L}{h} y = \frac{L}{L/2} y = 2y$ प्राप्त होता है।इस पट्टी का द्रव्यमान $dm = \sigma 	imes l(y) 	imes dy = \left(\frac{4M}{L^2}ight) 	imes (2y) 	imes dy = \frac{8M}{L^2} y dy$ है।$X$-अक्ष के परितः इस पट्टी का जड़त्व आघूर्ण $dI = dm 	imes y^2 = \left(\frac{8M}{L^2} y dyight) y^2 = \frac{8M}{L^2} y^3 dy$ है।$y=0$ से $y=h=L/2$ तक समाकलन करने पर:$I = \int_0^{L/2} \frac{8M}{L^2} y^3 dy = \frac{8M}{L^2} \left[ \frac{y^4}{4} ight]_0^{L/2} = \frac{8M}{L^2} 	imes \frac{1}{4} 	imes \left(\frac{L}{2}ight)^4 = \frac{2M}{L^2} 	imes \frac{L^4}{16} = \frac{ML^2}{8}$.

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