frac{dy}{dx} = frac{x+y+1}{y-x+1} का व्यापक ह | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y+1}{y-x+1}$ है।तिर्यक गुणा करने पर, $(y-x+1) dy = (x+y+1) dx$ प्राप्त होता है।पदों को पुनर्व्यवस्थि

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$2xy + (x+1)^2 - (y+1)^2 = C$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y+1}{y-x+1}$ है।तिर्यक गुणा करने पर, $(y-x+1) dy = (x+y+1) dx$ प्राप्त होता है।पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $y dy - x dy + dy = x dx + y dx + dx$.पदों को समूहित करने पर: $(y+1) dy - x dy = (x+1) dx + y dx$.दोनों पक्षों में $x dy$ जोड़ने पर: $(y+1) dy = (x+1) dx + (y dx + x dy)$.गुणन नियम $d(xy) = y dx + x dy$ का उपयोग करने पर, $(y+1) dy = (x+1) dx + d(xy)$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (y+1) dy = \int (x+1) dx + \int d(xy)$.इससे $\frac{(y+1)^2}{2} = \frac{(x+1)^2}{2} + xy + C_1$ प्राप्त होता है।$2$ से गुणा करने पर: $(y+1)^2 = (x+1)^2 + 2xy + 2C_1$.पुनर्व्यवस्थित करने पर: $2xy + (x+1)^2 - (y+1)^2 = -2C_1$.माना $C = -2C_1$, अतः $2xy + (x+1)^2 - (y+1)^2 = C$ प्राप्त होता है।

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$(A)$ अंतराल $(0, \frac{\pi}{2})$ में समीकरण $x e^{\sin x}-\cos x=0$ के हलों की संख्या	$(p)$ $1$
$(B)$ $k$ के मान जिनके लिए समतल $k x+4 y+z=0, 4 x+k y+2 z=0$ और $2 x+2 y+z=0$ एक सीधी रेखा में प्रतिच्छेद करते हैं	$(q)$ $2$
$(C)$ $k$ के मान जिनके लिए $\|x-1\|+\|x-2\|+\|x+1\|+\|x+2\|=4 k$ के पूर्णांक हल हैं	$(r)$ $3$
$(D)$ यदि $y^{\prime}=y+1$ और $y(0)=1$ है,तो $y(\ln 2)$ का मान	$(s)$ $4$
	$(t)$ $5$

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$(A)$ अवकल समीकरण $(x-3)^2 y^{\prime}+y=0$ के शून्येतर हलों के प्रांत में निहित अंतराल	$(p)$ $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$
$(B)$ समाकलन $\int_1^5(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) dx$ का मान रखने वाला अंतराल	$(q)$ $(0, \frac{\pi}{2})$
$(C)$ अंतराल जिसमें $\cos^2 x+\sin x$ के स्थानीय उच्चतम बिंदुओं में से कम से कम एक बिंदु स्थित है	$(r)$ $(\frac{\pi}{8}, \frac{5\pi}{4})$
$(D)$ अंतराल जिसमें $\tan^{-1}(\sin x+\cos x)$ वर्धमान है	$(s)$ $(0, \frac{\pi}{8})$
	$(t)$ $(-\pi, \pi)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{x+y+1}{y-x+1}$ का व्यापक हल है

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यदि अवकल समीकरण $(y-x+1) dy - (y+x+2) dx = 0$ का व्यापक हल $f(x, y, c) = 0$ है, तो $c$ का मान ज्ञात कीजिए ताकि $f(1, 1, c) = 0$ हो।

यदि $2xy^3dx + x^2y^2dy = ydx - xdy$ और $y(2) = 1$ है,तो $y(-1)$ का मान क्या होगा (जहाँ $y(x)$ दिए गए $x$ के लिए $y$ का मान दर्शाता है):

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