अवकल समीकरण frac{d y}{d x}=frac{x+7 y+3}{3 x+ | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}=\frac{x+7 y+3}{3 x+5 y+9}$ है।माना $x = X+h$ और $y = Y+k$ है। तब $\frac{d y}{d x} = \frac{d Y}{d X}$ होगा।इन

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$(y-x+3)^4=c|5 y+x-3|$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}=\frac{x+7 y+3}{3 x+5 y+9}$ है।माना $x = X+h$ और $y = Y+k$ है। तब $\frac{d y}{d x} = \frac{d Y}{d X}$ होगा।इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, $\frac{d Y}{d X} = \frac{X+7 Y + (h+7k+3)}{3X+5Y + (3h+5k+9)}$ प्राप्त होता है।इसे समघातीय बनाने के लिए, हम $h+7k+3=0$ और $3h+5k+9=0$ रखते हैं।इन रैखिक समीकरणों को हल करने पर, $h=-3$ और $k=0$ प्राप्त होता है।अतः, समीकरण $\frac{d Y}{d X} = \frac{X+7 Y}{3X+5Y}$ बन जाता है।माना $Y = vX$, तब $\frac{d Y}{d X} = v + X \frac{d v}{d X}$ होगा।$v + X \frac{d v}{d X} = \frac{1+7v}{3+5v} \Rightarrow X \frac{d v}{d X} = \frac{1+7v - 3v - 5v^2}{3+5v} = \frac{-5v^2+4v+1}{3+5v}$।चरों को अलग करने पर: $\int \frac{5v+3}{5v^2-4v-1} dv = -\int \frac{1}{X} dX$।समाकलन करने पर, हमें $v$ और $X$ के बीच संबंध प्राप्त होता है।अंत में $v = \frac{Y}{X} = \frac{y}{x+3}$ और $X = x+3$ रखने पर, व्यापक हल $(y-x+3)^4 = c|5y+x-3|$ प्राप्त होता है।

अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}=\frac{x+7 y+3}{3 x+5 y+9}$ का व्यापक हल है

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