એક સમાન ઘનતા અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નક્કર ગોળાને કારણે,ગોળાના કેન્દ્રથી $3 R$ અંતરે રહેલા કણ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_1$ છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ હવે ગોળામાં $(R / 2)$ ત્રિજ્યાનો એક ગોળાકાર કાણું પાડવામાં આવે છે. હવે આ કાણાવાળો ગોળો તે જ કણ પર $F_2$ બળ લગાડે છે. $F_1$ અને $F_2$ નો ગુણોત્તર શોધો.

જો પૃથ્વીનું દળ અચળ રહે અને તેની ત્રિજ્યા તેના મૂળ મૂલ્યના $\frac{1}{n}$ ભાગની કરવામાં આવે,તો $1$ દિવસનો સમયગાળો કેટલો થશે?

બે પદાર્થો,દરેકનું દળ $M$ છે,તેમને $2L$ જેટલા અંતરે સ્થિર રાખવામાં આવ્યા છે. $m$ દળના એક કણને તેમના કેન્દ્રોને જોડતી રેખાના મધ્યબિંદુથી,તે રેખાને લંબ દિશામાં પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે. ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક $G$ છે. સાચું વિધાન/વિધાનો કયું/કયા છે:
$(a)$ બે પદાર્થોના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળવા માટે $m$ દળના કણનો લઘુત્તમ પ્રારંભિક વેગ $4 \sqrt{\frac{GM}{L}}$ છે.
$(b)$ બે પદાર્થોના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળવા માટે $m$ દળના કણનો લઘુત્તમ પ્રારંભિક વેગ $2 \sqrt{\frac{GM}{L}}$ છે.
$(c)$ બે પદાર્થોના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળવા માટે $m$ દળના કણનો લઘુત્તમ પ્રારંભિક વેગ $\sqrt{\frac{2GM}{L}}$ છે.
$(d)$ $m$ દળના કણની ઉર્જા અચળ રહે છે.

ત્રણ બિંદુવત દળ,દરેકનું દળ $m$ છે,તે $L$ બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણના ખૂણાઓ પર રાખવામાં આવ્યા છે. આ તંત્ર ત્રિકોણના કેન્દ્રની આસપાસ ફરે છે. પરિભ્રમણનો આવર્તકાળ $T$ એ કોના સમપ્રમાણમાં છે?

જો $M$ સમાન દળ ધરાવતા બે પદાર્થો $A$ અને $B$ હવામા $d$ અંતરે રહેલા હોય અને તેમની વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F$ હોય. હવે પદાર્થ $A$ માંથી $50 \%$ દળ $B$ માં સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે અને તેમની વચ્ચેનું અંતર ઘટાડીને $\frac{d}{2}$ કરવામાં આવે છે. જો તેમની આસપાસની જગ્યા હવે $3$ વિશિષ્ટ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીથી ભરવામાં આવે,તો નવું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ કેટલું હશે?

$m$ દળ ધરાવતા ચાર સમાન કણો તેમના પરસ્પર ગુરુત્વાકર્ષણ બળને કારણે $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં સમાન કોણીય દિશામાં ભ્રમણ કરી રહ્યા છે. કણનો વેગ કેટલો હશે?