S क्षेत्रफल वाले किसी भी समकोण त्रिभुज को परि | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए कि समकोण त्रिभुज की भुजाएँ $x$ और $y$ हैं। त्रिभुज का क्षेत्रफल $S = \frac{1}{2}xy$ है,इसलिए $xy = 2S$ है।समकोण त्रिभुज का कर्ण $h = \sq

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$\pi S$

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(A) मान लीजिए कि समकोण त्रिभुज की भुजाएँ $x$ और $y$ हैं। त्रिभुज का क्षेत्रफल $S = \frac{1}{2}xy$ है,इसलिए $xy = 2S$ है।समकोण त्रिभुज का कर्ण $h = \sqrt{x^2 + y^2}$ है।एक समकोण त्रिभुज को परिबद्ध करने वाले वृत्त का व्यास त्रिभुज का कर्ण होता है। अतः,व्यास $d = \sqrt{x^2 + y^2}$ और त्रिज्या $r = \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{2}$ है।वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \left( \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{2} \right)^2 = \frac{\pi}{4}(x^2 + y^2)$ है।चूंकि $y = \frac{2S}{x}$,हम इसे क्षेत्रफल के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:$A(x) = \frac{\pi}{4} \left( x^2 + \left( \frac{2S}{x} \right)^2 \right) = \frac{\pi}{4} \left( x^2 + \frac{4S^2}{x^2} \right)$।न्यूनतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $A(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:$A'(x) = \frac{\pi}{4} \left( 2x - \frac{8S^2}{x^3} \right) = 0$।$2x = \frac{8S^2}{x^3} \implies x^4 = 4S^2 \implies x^2 = 2S$।$x^2 = 2S$ को क्षेत्रफल के समीकरण में रखने पर:$A = \frac{\pi}{4} \left( 2S + \frac{4S^2}{2S} \right) = \frac{\pi}{4} (2S + 2S) = \frac{\pi}{4} (4S) = \pi S$।अतः,वृत्त का न्यूनतम क्षेत्रफल $\pi S$ है।

$S$ क्षेत्रफल वाले किसी भी समकोण त्रिभुज को परिबद्ध करने वाले वृत्त का न्यूनतम क्षेत्रफल क्या है?

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