वह न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक $n$ ज्ञात कीजिए जिसके लिए $\left(\begin{array}{cc}\cos \frac{\pi}{4} & \sin \frac{\pi}{4} \\ -\sin \frac{\pi}{4} & \cos \frac{\pi}{4}\end{array}\right)^{n}$ कोटि $2$ का एक तत्समक आव्यूह (identity matrix) है।

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 5 & \sin^2 \theta & \cos^2 \theta \\ -\sin^2 \theta & -5 & 1 \\ \cos^2 \theta & 1 & 5 \end{bmatrix}$ है। तो $\det(A)$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $p, q, r$ तीन वास्तविक संख्याएँ हैं जो $[p \, q \, r] \begin{bmatrix} 2 & p & q \\ -3 & q & -p+r \\ 12 & r & -q+3r \end{bmatrix} = [5 \, b \, c]$ को संतुष्ट करती हैं,तो $(b+c)$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

माना $x \in R$ और $P = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$,$Q = \begin{bmatrix} 2 & x & x \\ 0 & 4 & 0 \\ x & x & 6 \end{bmatrix}$ और $R = PQP^{-1}$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा/से विकल्प सही है/हैं?
$(1)$ $x = 1$ के लिए,एक ऐसा इकाई सदिश $\alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + \gamma \hat{k}$ मौजूद है जिसके लिए $R \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ है।
$(2)$ एक ऐसी वास्तविक संख्या $x$ मौजूद है जिसके लिए $PQ = QP$ है।
$(3)$ $\det R = \det \begin{bmatrix} 2 & x & x \\ 0 & 4 & 0 \\ x & x & 5 \end{bmatrix} + 8$,सभी $x \in R$ के लिए।
$(4)$ $x = 0$ के लिए,यदि $R \begin{bmatrix} 1 \\ a \\ b \end{bmatrix} = 6 \begin{bmatrix} 1 \\ a \\ b \end{bmatrix}$ है,तो $a + b = 5$ है।

आव्यूह $A$ इस प्रकार है कि ${A^2} = 2A - I$,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है। तब $n \ge 2$ के लिए,${A^n} = $

मान लीजिए $A$ वास्तविक प्रविष्टियों वाला एक $2 \times 2$ आव्यूह है,जहाँ $A^{T} = \alpha A + I$,और $\alpha \in R - \{-1, 1\}$ है। यदि $\det(A^2 - A) = 4$ है,तो $\alpha$ के सभी संभावित मानों का योग क्या है?