अंग्रेजी वर्णमाला का उपयोग करके बनने वाले $4$-अक्षर के क्रमचयों की संख्या ज्ञात कीजिए,जिसमें भिन्न स्वरों की संख्या और भिन्न व्यंजनों की संख्या समान हो,जब पुनरावृत्ति की अनुमति हो।

यदि $n = ^mC_2$ है,तो $^nC_2$ का मान क्या होगा?

मान लीजिए $S_1 = \{(i, j, k) : i, j, k \in \{1, 2, \ldots, 10\}\}$,$S_2 = \{(i, j) : 1 \leq i < j + 2 \leq 10, i, j \in \{1, 2, \ldots, 10\}\}$,$S_3 = \{(i, j, k, l) : 1 \leq i < j < k < l, i, j, k, l \in \{1, 2, \ldots, 10\}\}$,$S_4 = \{(i, j, k, l) : i, j, k \text{ और } l \text{ समुच्चय } \{1, 2, \ldots, 10\} \text{ में भिन्न अवयव हैं}\}$. यदि समुच्चय $S_r$ में अवयवों की कुल संख्या $n_r$ है,जहाँ $r = 1, 2, 3, 4$,तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A) n_1 = 1000$
$(B) n_2 = 44$
$(C) n_3 = 220$
$(D) \frac{n_4}{12} = 420$

$1, 2, 0, 2, 4, 2, 4$ अंकों का उपयोग करके $1000000$ से बड़ी कितनी सम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?

$(2 \cdot {}^{1}P_{0} - 3 \cdot {}^{2}P_{1} + 4 \cdot {}^{3}P_{2} - \dots 51^{\text{th}} \text{ पद तक}) + (1! - 2! + 3! - \dots 51^{\text{th}} \text{ पद तक})$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक समुच्चय में $2n + 1$ अवयव हैं। इस समुच्चय के $n$ से अधिक अवयव वाले उपसमुच्चयों की संख्या किसके बराबर है?