$PALANHAR$ शब्द के अक्षरों के ऐसे विन्यास की संख्या ज्ञात कीजिए जिसमें कोई भी दो स्वर एक साथ न हों और ठीक दो स्वर विषम स्थानों पर हों।

मान लीजिए $P$ एक बंद बहुभुज है जिसमें $10$ भुजाएँ और $10$ शीर्ष हैं (मान लें कि भुजाएँ शीर्षों के अलावा कहीं और नहीं काटती हैं)। मान लीजिए $k$,$P$ के उन आंतरिक कोणों की संख्या है जो $180^{\circ}$ से अधिक हैं। $k$ का अधिकतम संभव मान है

समतल में स्थित $10$ बिंदुओं में से कोई भी तीन बिंदु संरेख नहीं हैं और $4$ बिंदु एकवृतीय (concyclic) हैं। इन बिंदुओं में से कम से कम $3$ बिंदुओं का उपयोग करके कितने भिन्न वृत्त खींचे जा सकते हैं?

$4$ समांतर रेखाओं के एक समूह और $3$ समांतर रेखाओं के दूसरे समूह के प्रतिच्छेदन से बनने वाले समांतर चतुर्भुजों की संख्या क्या है?

तीन समतलीय रेखाओं में से प्रत्येक पर $p$ बिंदु चुने जाते हैं। इन बिंदुओं पर शीर्षों वाले त्रिभुजों की अधिकतम संख्या है

$9$ असंरेख बिंदुओं का उपयोग करके कितने त्रिभुज खींचे जा सकते हैं?