lambda के भिन्न वास्तविक मानों की संख्या,जिसक | vedclass

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Question

(B) तीन सदिशों के समतलीय होने के लिए,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए। अतः,हमारे पास सारणिक समीकरण है:$\left|\begin{array}{ccc} -\lambda^2 & 1

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दो।

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(B) तीन सदिशों के समतलीय होने के लिए,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए। अतः,हमारे पास सारणिक समीकरण है:$\left|\begin{array}{ccc} -\lambda^2 & 1 & 1 \ 1 & -\lambda^2 & 1 \ 1 & 1 & -\lambda^2 \end{array}ight| = 0$प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:$-\lambda^2(\lambda^4 - 1) - 1(-\lambda^2 - 1) + 1(1 + \lambda^2) = 0$$-\lambda^6 + \lambda^2 + \lambda^2 + 1 + 1 + \lambda^2 = 0$$-\lambda^6 + 3\lambda^2 + 2 = 0$$\lambda^6 - 3\lambda^2 - 2 = 0$माना $t = \lambda^2$ है। तब समीकरण $t^3 - 3t - 2 = 0$ हो जाता है।मानों की जाँच करने पर,$t = -1$ के लिए,$(-1)^3 - 3(-1) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0$ है। अतः $(t+1)$ एक गुणनखंड है।$(t+1)(t^2 - t - 2) = 0$$(t+1)(t+1)(t-2) = 0$$(t+1)^2(t-2) = 0$इस प्रकार,$t = -1$ या $t = 2$ है।चूँकि $t = \lambda^2$ है,हमारे पास $\lambda^2 = -1$ (कोई वास्तविक हल नहीं) या $\lambda^2 = 2$ है।वास्तविक $\lambda$ के लिए,$\lambda = \pm \sqrt{2}$ है।अतः,$\lambda$ के दो भिन्न वास्तविक मान प्राप्त होते हैं।

$\lambda$ के भिन्न वास्तविक मानों की संख्या,जिसके लिए सदिश $-\lambda^2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\hat{i}-\lambda^2 \hat{j}+\hat{k}$ और $\hat{i}+\hat{j}-\lambda^2 \hat{k}$ समतलीय हैं,है

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