$6$ શિક્ષકો,$5$ પિતાઓ અને $4$ વિદ્યાર્થીઓમાંથી $7$ સભ્યોની સમિતિ એવી રીતે બનાવવાની છે કે જેમાં દરેક જૂથમાંથી ઓછામાં ઓછો એક સભ્ય હોય અને શિક્ષકો બહુમતીમાં હોય,તો તે કેટલા પ્રકારે કરી શકાય?

સૌથી મોટી $n \in N$ સંખ્યા શોધો જેના માટે $7^n$ એ $101!$ ને ભાગી શકે:

ભિન્ન રંગના પાંચ દડાને ભિન્ન કદના ત્રણ ખોખાંમાં મૂકવામાં આવે,દરેક ખોખું બધાં જ પાંચ દડા સમાવી શકે છે. એક પણ ખોખું ખાલી ન રહે તેવી રીતે દડા કેટલી રીતે મૂકી શકાય?

'$MATHEMATICS$' શબ્દના ચાર અક્ષરોને કેટલી રીતે ગોઠવી શકાય?

અંકો $1, 3, 5, 6, 8$ નો ઉપયોગ કરીને ત્રણ અને ચાર અંકની સંખ્યાઓ બનાવવામાં આવે છે. જો $e_1$ એ ત્રણ અંકની બેકી સંખ્યાઓ છે જેમાં કોઈ અંકનું પુનરાવર્તન થતું નથી અને $e_2$ એ ચાર અંકની બેકી સંખ્યાઓ છે જેમાં કોઈ અંકનું પુનરાવર્તન થતું નથી. તેમજ $O_1$ એ ત્રણ અંકની એકી સંખ્યાઓ દર્શાવે છે જેમાં કોઈ અંકનું પુનરાવર્તન થતું નથી અને $O_2$ એ ચાર અંકની એકી સંખ્યાઓ દર્શાવે છે જેમાં કોઈ અંકનું પુનરાવર્તન થતું નથી. તો:

$3n$ ભિન્ન વસ્તુઓને $3$ વ્યક્તિઓ વચ્ચે સમાન ભાગે કેટલી રીતે વહેંચી શકાય?