अवकल समीकरण y(1+log x) = (log x^x) frac{dy}{d | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $y(1+\log x) = (\log x^x) \frac{dy}{dx}$.चूँकि $\log x^x = x \log x$,समीकरण $y(1+\log x) = (x \log x) \frac{dy}{dx}$ बन जाता

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$ex \log x - y = 0$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $y(1+\log x) = (\log x^x) \frac{dy}{dx}$.चूँकि $\log x^x = x \log x$,समीकरण $y(1+\log x) = (x \log x) \frac{dy}{dx}$ बन जाता है।चरों को अलग करने पर: $\frac{1+\log x}{x \log x} dx = \frac{dy}{y}$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1+\log x}{x \log x} dx = \int \frac{dy}{y}$.माना $u = \log x$,तो $du = \frac{1}{x} dx$. समाकलन $\int \frac{1+u}{u} du = \int (\frac{1}{u} + 1) du = \log |u| + u = \log |\log x| + \log x$ हो जाता है।अतः,$\log |\log x| + \log x = \log |y| + C$.शर्त $y(e) = e^2$ का उपयोग करने पर: $\log |\log e| + \log e = \log |e^2| + C$.चूँकि $\log e = 1$,हमारे पास $\log |1| + 1 = 2 + C$ है,जो $0 + 1 = 2 + C$ देता है,इसलिए $C = -1$.$C$ का मान रखने पर: $\log |\log x| + \log x = \log |y| - 1$.चूँकि $1 = \log e$,हमारे पास $\log |\log x| + \log x + \log e = \log |y|$ है।$\log a + \log b = \log(ab)$ का उपयोग करने पर,$\log |e \cdot x \log x| = \log |y|$.अतः,$y = ex \log x$,या $ex \log x - y = 0$.

अवकल समीकरण $y(1+\log x) = (\log x^x) \frac{dy}{dx}$ का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए,जहाँ $y(e) = e^2$ दिया गया है।

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