समतलों $x+y+z=1$ और $2x+3y-z+4=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाला और $Y$-अक्ष के समांतर समतल किस बिंदु से होकर गुजरता है?

मान लीजिए कि $P$ वह समतल है जो रेखा $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z+5}{7}$ और बिंदु $(2,4,-3)$ से होकर गुजरता है। यदि समतल $P$ में बिंदु $(-1,3,4)$ का प्रतिबिंब $(\alpha, \beta, \gamma)$ है,तो $\alpha+\beta+\gamma$ का मान ज्ञात कीजिए।

समतलों $3x - 6y - 2z = 15$ और $2x + y - 2z = 5$ पर विचार करें।
$\text{कथन}-1$ : दिए गए समतलों के प्रतिच्छेदन रेखा के प्राचलिक समीकरण $x = 3 + 14t, y = 1 + 2t, z = 15t$ हैं क्योंकि
$\text{कथन}-2$ : सदिश $14\hat{i} + 2\hat{j} + 15\hat{k}$ दिए गए समतलों के प्रतिच्छेदन रेखा के समानांतर है।

समतलों $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k})=7$ और $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+5 \hat{j}+3 \hat{k})=9$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले और बिंदु $(2,1,3)$ से गुजरने वाले समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।

माना रेखा $L: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z-3}{1}$ समतल $2x+y+3z=16$ को बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करती है। माना बिंदु $Q$,बिंदु $R(1, -1, -3)$ से रेखा $L$ पर डाले गए लंब का पाद है। यदि $\alpha$ त्रिभुज $PQR$ का क्षेत्रफल है,तो $\alpha^2$ का मान $...........$ है।

रेखा $r = i + j + \lambda (2i + j + 4k)$ को समाहित करने वाले समतल का समीकरण क्या है?