गुणनफल 2^{frac{1}{4}} cdot 4^{frac{1}{16}} cd | vedclass

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Question

(A) माना कि दिया गया व्यंजक $P = 2^{\frac{1}{4}} \cdot 4^{\frac{1}{16}} \cdot 8^{\frac{1}{48}} \cdot 16^{\frac{1}{128}} \cdot \ldots \infty$ है।सभी आध

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$2^{\frac{1}{2}}$

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(A) माना कि दिया गया व्यंजक $P = 2^{\frac{1}{4}} \cdot 4^{\frac{1}{16}} \cdot 8^{\frac{1}{48}} \cdot 16^{\frac{1}{128}} \cdot \ldots \infty$ है।सभी आधारों को $2$ की घात के रूप में व्यक्त करने पर:$P = 2^{\frac{1}{4}} \cdot (2^2)^{\frac{1}{16}} \cdot (2^3)^{\frac{1}{48}} \cdot (2^4)^{\frac{1}{128}} \cdot \ldots \infty$$P = 2^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{2}{16}} \cdot 2^{\frac{3}{48}} \cdot 2^{\frac{4}{128}} \cdot \ldots \infty$घातों को सरल करने पर:$P = 2^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{1}{8}} \cdot 2^{\frac{1}{16}} \cdot 2^{\frac{1}{32}} \cdot \ldots \infty$गुणधर्म $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ का उपयोग करके,घातों को जोड़ने पर:$P = 2^{\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \ldots \infty\right)}$घात एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = \frac{1}{4}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{2}$ है।अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ होता है।$S = \frac{1/4}{1 - 1/2} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}$.अतः,$P = 2^{\frac{1}{2}}$.

गुणनफल $2^{\frac{1}{4}} \cdot 4^{\frac{1}{16}} \cdot 8^{\frac{1}{48}} \cdot 16^{\frac{1}{128}} \cdot \ldots$ अनंत $(\infty)$ तक किसके बराबर है?

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$5$ से विभाज्य प्रथम सौ सम प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।

$\frac{1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + \dots + 12^3}{1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + \dots + 12^2} = $

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