રેખા y-x=1 અને વક્ર x=y^2 વચ્ચેનું લઘુત્તમ અં | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલી રેખા $x-y+1=0$ છે. વક્ર $x=y^2$ છે. ધારો કે વક્ર પરનું બિંદુ $P(y^2, y)$ છે. લઘુત્તમ અંતર માટે વક્રના સ્પર્શકનો ઢાળ આપેલી રેખાના ઢાળ જેટલો હ

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{3 \sqrt{2}}{8}$

Vedclass · Answer

(A) આપેલી રેખા $x-y+1=0$ છે. વક્ર $x=y^2$ છે. ધારો કે વક્ર પરનું બિંદુ $P(y^2, y)$ છે. લઘુત્તમ અંતર માટે વક્રના સ્પર્શકનો ઢાળ આપેલી રેખાના ઢાળ જેટલો હોવો જોઈએ. રેખા $x-y+1=0$ નો ઢાળ $m=1$ છે. $x=y^2$ નું $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dx}{dy} = 2y$ મળે. તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$. $\frac{1}{2y} = 1$ લેતા,$y = \frac{1}{2}$ મળે. ત્યારબાદ $x = y^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$. વક્ર પરનું બિંદુ $P(\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$ છે. બિંદુ $(x_0, y_0)$ થી રેખા $Ax+By+C=0$ નું લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે. અહીં,$A=1, B=-1, C=1, x_0=\frac{1}{4}, y_0=\frac{1}{2}$. $d = \frac{|1(\frac{1}{4}) - 1(\frac{1}{2}) + 1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{|\frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{4}{4}|}{\sqrt{2}} = \frac{3/4}{\sqrt{2}} = \frac{3}{4\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{8}$.

રેખા $y-x=1$ અને વક્ર $x=y^2$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર કેટલું છે?

Similar Questions

નીચેનામાંથી કઈ જોડી આઈસો-ઈલેક્ટ્રોનિક (iso-electronic) નથી?

નીચે આપેલા સંયોજનનું $IUPAC$ નામ શું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module