left(1, frac{pi}{4}right) से गुजरने वाले एक व | vedclass

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Question

(C) स्पर्शरेखा की ढाल के लिए दिया गया अवकल समीकरण:$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \cos^2\left(\frac{y}{x}\right)$यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजि

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$y=x 	an ^{-1}\left[\log \left(\frac{e}{x}ight)ight]$

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(C) स्पर्शरेखा की ढाल के लिए दिया गया अवकल समीकरण:$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \cos^2\left(\frac{y}{x}ight)$यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तो $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.इन मानों को समीकरण में रखने पर:$v + x\frac{dv}{dx} = v - \cos^2(v)$$x\frac{dv}{dx} = -\cos^2(v)$चरों को अलग करने पर:$\sec^2(v) dv = -\frac{1}{x} dx$दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:$\int \sec^2(v) dv = -\int \frac{1}{x} dx$$	an(v) = -\log|x| + C$$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर:$	an\left(\frac{y}{x}ight) = -\log|x| + C$वक्र $\left(1, \frac{\pi}{4}ight)$ से गुजरता है,इसलिए:$	an\left(\frac{\pi/4}{1}ight) = -\log(1) + C$$	an\left(\frac{\pi}{4}ight) = 0 + C \Rightarrow C = 1$अतः,$	an\left(\frac{y}{x}ight) = 1 - \log(x) = \log(e) - \log(x) = \log\left(\frac{e}{x}ight)$इसलिए,$y = x 	an^{-1}\left[\log\left(\frac{e}{x}ight)ight]$.

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