frac{dy}{dx} = frac{x log x^2 + x}{sin y + y | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{x \log x^2 + x}{\sin y + y \cos y}$.चरों को अलग करने पर: $(\sin y + y \cos y) dy = (x \log x^2 + x) d

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$y \sin y = x^2 \log x + C$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{x \log x^2 + x}{\sin y + y \cos y}$.चरों को अलग करने पर: $(\sin y + y \cos y) dy = (x \log x^2 + x) dx$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (\sin y + y \cos y) dy = \int (x \log x^2 + x) dx$.बाएँ पक्ष के लिए, $\int y \cos y dy$ में खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int y \cos y dy = y \sin y - \int \sin y dy = y \sin y + \cos y$.अतः, $\int (\sin y + y \cos y) dy = -\cos y + y \sin y + \cos y = y \sin y$.दाएँ पक्ष के लिए, $\int (x \log x^2 + x) dx = \int (2x \log x + x) dx$.$\int 2x \log x dx$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $u = \log x$, $dv = 2x dx$ लेने पर, $du = \frac{1}{x} dx$, $v = x^2$ प्राप्त होता है।$\int 2x \log x dx = x^2 \log x - \int x^2 \cdot \frac{1}{x} dx = x^2 \log x - \int x dx = x^2 \log x - \frac{x^2}{2}$.$x$ का समाकलन जोड़ने पर: $\int (2x \log x + x) dx = x^2 \log x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{2} + C = x^2 \log x + C$.दोनों पक्षों की तुलना करने पर: $y \sin y = x^2 \log x + C$.

$\frac{dy}{dx} = \frac{x \log x^2 + x}{\sin y + y \cos y}$ का हल ज्ञात कीजिए।

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