अवकल समीकरण $\frac{d^2 y}{d x^2}+y=0$ का हल है

माना $y=y(x)$ अवकल समीकरण $(x+y+2)^2 dx=dy$,$y(0)=-2$ का हल है। माना अंतराल $\left[0, \frac{\pi}{3}\right]$ में फलन $y=y(x)$ के अधिकतम और न्यूनतम मान क्रमशः $\alpha$ और $\beta$ हैं। यदि $(3\alpha+\pi)^2+\beta^2=\gamma+\delta\sqrt{3}$,जहाँ $\gamma, \delta \in Z$ है,तो $\gamma+\delta$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f(x) = e^{ax} + e^{bx},$ जहाँ $a \neq b,$ और सभी $x$ के लिए $f''(x) - 2f'(x) - 15f(x) = 0$ है। तो गुणनफल $ab$ का मान ज्ञात कीजिए।

वक्रों का वह परिवार ज्ञात कीजिए जिसके लिए किसी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा और वक्र $xy = c^2$ की प्रतिच्छेदन बिंदु पर स्पर्श रेखा के बीच का कोण $\frac{\pi}{4}$ है।

यदि $y = \frac{x}{\log_e|cx|}$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \phi\left(\frac{x}{y}\right)$ का हल है, तो $\phi\left(\frac{x}{y}\right)$ का मान क्या है?

वह वक्र जो अवकल समीकरण $x y \, dy - (1 + y^2) \, dx = 0$ को संतुष्ट करता है, $(1, 0)$ से गुजरता है और वक्र $x^2 + 3y^2 = 3$ को $\theta$ कोण पर काटता है। तो $\frac{2\theta}{\pi} =$