श्रेणी 1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + dots के n | vedclass

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Question

(D) श्रेणी का $n$-वां पद प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग द्वारा दिया जाता है:$T_n = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$$n$ पदों का योग $S_

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$\frac{n(n + 1)(n + 2)}{6}$

Vedclass · Answer

(D) श्रेणी का $n$-वां पद प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग द्वारा दिया जाता है:$T_n = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$$n$ पदों का योग $S_n$,$k=1$ से $n$ तक $T_k$ का योग है:$S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{k(k + 1)}{2} = \frac{1}{2} \left[ \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k \right]$मानक योग सूत्रों $\sum k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum k = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:$S_n = \frac{1}{2} \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} \right]$$\frac{n(n+1)}{2}$ को कॉमन लेने पर:$S_n = \frac{1}{2} \cdot \frac{n(n+1)}{2} \left[ \frac{2n+1}{3} + 1 \right] = \frac{n(n+1)}{4} \left[ \frac{2n+1+3}{3} \right]$$S_n = \frac{n(n+1)}{4} \cdot \frac{2n+4}{3} = \frac{n(n+1) \cdot 2(n+2)}{12} = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$.

श्रेणी $1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + \dots$ के $n$ पदों का योग क्या होगा?

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