श्रेणी frac{1}{2 !} + frac{1+2}{3 !} + frac{1 | vedclass

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Question

(A) श्रेणी का $n$वाँ पद $T_n = \frac{1+2+3+\ldots+n}{(n+1) !}$ है।प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग का उपयोग करने पर,$T_n = \frac{n(n+1)}{2(n+1)!} =

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$\frac{e}{2}$

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(A) श्रेणी का $n$वाँ पद $T_n = \frac{1+2+3+\ldots+n}{(n+1) !}$ है।प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग का उपयोग करने पर,$T_n = \frac{n(n+1)}{2(n+1)!} = \frac{n}{2(n)!} = \frac{1}{2(n-1)!}$.$n=1, 2, 3, \ldots$ के लिए,पद $T_1 = \frac{1}{2(0!)}, T_2 = \frac{1}{2(1!)}, T_3 = \frac{1}{2(2!)}, \ldots$ हैं।योग $S = \sum_{n=1}^{\infty} T_n = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots \right]$.चूंकि $e = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots$,इसलिए $S = \frac{1}{2} e$.

श्रेणी $\frac{1}{2 !} + \frac{1+2}{3 !} + \frac{1+2+3}{4 !} + \ldots$ का योग किसके बराबर है?

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श्रेणी $C = 1 + \frac{\cos x}{1!} + \frac{\cos 2x}{2!} + \frac{\cos 3x}{3!} + \dots$ और $S = \frac{\sin x}{1!} + \frac{\sin 2x}{2!} + \frac{\sin 3x}{3!} + \dots$ का योग किसके बराबर है?

मान लीजिए $S_{n} = 1 \cdot (n-1) + 2 \cdot (n-2) + 3 \cdot (n-3) + \dots + (n-1) \cdot 1$,$n \geq 4$ के लिए। योग $\sum_{n=4}^{\infty} \left( \frac{2 S_{n}}{n!} - \frac{1}{(n-2)!} \right)$ किसके बराबर है?

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{(2n+1)!}$ का मान ज्ञात कीजिए।

श्रेणी $1+\frac{1+3}{2!}+\frac{1+3+5}{3!}+\frac{1+3+5+7}{4!}+\ldots$ के $\infty$ पदों तक का योग किसके बराबर है ($e$ में)?

$1 + \frac{1 + x}{2!} + \frac{1 + x + x^2}{3!} + \frac{1 + x + x^2 + x^3}{4!} + \dots \infty = $

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