मान लीजिए कि $S_n$,$S_{2n}$ और $S_{3n}$ एक समांतर श्रेणी $(AP)$ के क्रमशः $n$,$2n$ और $3n$ पदों के योग हैं। सिद्ध कीजिए कि $S_{3n} = 3(S_{2n} - S_n)$।

(N/A) मान लीजिए कि समांतर श्रेणी का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
$n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ द्वारा दिया जाता है।
इसी प्रकार,$S_{2n} = \frac{2n}{2}[2a + (2n-1)d] = n[2a + (2n-1)d] = 2an + 2n^2d - nd$।
और $S_{3n} = \frac{3n}{2}[2a + (3n-1)d] = 3an + \frac{3n(3n-1)d}{2}$।
अब,व्यंजक $3(S_{2n} - S_n)$ पर विचार करें:
$S_{2n} - S_n = n[2a + (2n-1)d] - \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$
$= \frac{n}{2} [2(2a + 2nd - d) - (2a + nd - d)]$
$= \frac{n}{2} [4a + 4nd - 2d - 2a - nd + d]$
$= \frac{n}{2} [2a + 3nd - d] = \frac{n}{2} [2a + (3n-1)d]$।
इसे $3$ से गुणा करने पर,हमें $3(S_{2n} - S_n) = 3 \times \frac{n}{2} [2a + (3n-1)d] = \frac{3n}{2} [2a + (3n-1)d] = S_{3n}$ प्राप्त होता है।
अतः,$S_{3n} = 3(S_{2n} - S_n)$ सिद्ध होता है।