कलश $A, B$ और $C$ में क्रमशः $4$ लाल,$6$ काली; $5$ लाल,$5$ काली और $\lambda$ लाल,$4$ काली गेंदें हैं। एक कलश को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है और एक गेंद निकाली जाती है। यदि निकाली गई गेंद लाल है और इसके कलश $C$ से निकाले जाने की प्रायिकता $0.4$ है,तो परवलय $y^2 = \lambda x$ में अंतर्निहित सबसे बड़े समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई का वर्ग ज्ञात कीजिए,जिसका एक शीर्ष परवलय का शीर्ष है।

थैली $I$ में $3$ लाल और $4$ काली गेंदें हैं,जबकि थैली $II$ में $5$ लाल और $6$ काली गेंदें हैं। किसी एक थैली से यादृच्छिक रूप से एक गेंद निकाली जाती है और वह लाल पाई जाती है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह थैली $II$ से निकाली गई थी।

एक कंप्यूटर बनाने वाली फैक्ट्री में केवल दो प्लांट $T_1$ और $T_2$ हैं। प्लांट $T_1$ कुल उत्पादित कंप्यूटरों का $20 \%$ और प्लांट $T_2$ $80 \%$ उत्पादन करता है। फैक्ट्री में उत्पादित कंप्यूटरों में से $7 \%$ खराब (defective) निकलते हैं। यह ज्ञात है कि $P(\text{defective} | T_1) = 10 P(\text{defective} | T_2)$। फैक्ट्री में उत्पादित एक कंप्यूटर को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है और वह खराब नहीं है। तो इसकी प्रायिकता क्या है कि वह प्लांट $T_2$ में उत्पादित हुआ है?

बैग $A$ में $2$ सफेद,$1$ काली और $3$ लाल गेंदें हैं और बैग $B$ में $3$ काली,$2$ लाल और $n$ सफेद गेंदें हैं। एक बैग को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है और उसमें से $2$ गेंदें यादृच्छिक रूप से निकाली जाती हैं,जो $1$ लाल और $1$ काली पाई जाती हैं। यदि दोनों गेंदों के बैग $A$ से आने की प्रायिकता $\frac{6}{11}$ है,तो $n$ का मान क्या है?

एक व्यक्ति $5$ में से $4$ बार सच बोलता है। वह एक पासा फेंकता है और बताता है कि यह $6$ है। इस बात की प्रायिकता क्या है कि वास्तव में $6$ ही था?

एक व्यक्ति $4$ में से $3$ बार सच बोलता है। वह एक पासा फेंकता है और बताता है कि यह $6$ है। इस बात की प्रायिकता क्या है कि वास्तव में $6$ ही है?