sumlimits_{r = 2}^{16} {intlimits_r^{r + 1} { | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) माना $I = \sum\limits_{r = 2}^{16} {\int_r^{r + 1} {\frac{{dx}}{{(2r - x)(2r + 2 - x)}}} }$. प्रत्येक समाकलन के लिए,$u = x - (2r + 1)$ लें। तब $du

Vedclass · Accepted Answer

$\ln \left( \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \right)$

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \sum\limits_{r = 2}^{16} {\int_r^{r + 1} {\frac{{dx}}{{(2r - x)(2r + 2 - x)}}} }$. प्रत्येक समाकलन के लिए,$u = x - (2r + 1)$ लें। तब $du = dx$. जब $x = r$,तब $u = -r - 1$. जब $x = r + 1$,तब $u = -r$. हर $(2r - (u + 2r + 1))(2r + 2 - (u + 2r + 1)) = (-u - 1)(1 - u) = u^2 - 1$ हो जाता है। अतः,$\int_r^{r+1} \frac{dx}{(2r-x)(2r+2-x)} = \int_{-r-1}^{-r} \frac{du}{u^2 - 1} = \left[ \frac{1}{2} \ln \left| \frac{u-1}{u+1} ight| ight]_{-r-1}^{-r}$. $= \frac{1}{2} \left( \ln \left( \frac{r+1}{r-1} ight) - \ln \left( \frac{r+2}{r} ight) ight)$. $r=2$ से $16$ तक योग करने पर: $\frac{1}{2} \sum_{r=2}^{16} \left( \ln \frac{r+1}{r-1} - \ln \frac{r+2}{r} ight)$. यह एक टेलिस्कोपिंग श्रेणी है: $\frac{1}{2} [(\ln \frac{3}{1} - \ln \frac{4}{2}) + (\ln \frac{4}{2} - \ln \frac{5}{3}) + \dots + (\ln \frac{17}{15} - \ln \frac{18}{16})]$. $= \frac{1}{2} (\ln 3 - \ln \frac{18}{16}) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{3 	imes 16}{18} ight) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{8}{3} ight) = \ln \left( \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} ight)$.

$\sum\limits_{r = 2}^{16} {\int\limits_r^{r + 1} {\frac{{dx}}{{\left( {2r - x} \right)\left( {2r + 2 - x} \right)}}} }$ का मान ज्ञात कीजिए।

Similar Questions

यदि $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cot x}{\cot x + \csc x} dx = m(\pi + n)$ है,तो $m \cdot n$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^{\frac{\pi}{2}}|\sin x-\cos x| d x$ का मान क्या है?

$I = \int_{\pi/4}^{\pi/3} \frac{8 \sin x - \sin 2x}{x} dx$. तो

$\int_{1}^{3} (x - 1)(x - 2)(x - 3) \, dx = $

यदि $f(x) = \frac{|\log x|}{x^2}$ है, तो $\int_{1/e}^e f(x) dx =$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module