$x+y \leq 4$,$x \leq 2$,$y \leq 1$,$x+y \geq 1$,$x, y \geq 0$ अवरोधों के लिए सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष क्या हैं?

$Z = 5x + 2y$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए,जो निम्नलिखित अवरोधों के अधीन है: $2x - y \geq 2$,$x + 2y \leq 8$,और $x, y \geq 0$.

एक प्रकार के केक के लिए $200 \,g$ मैदा और $25 \,g$ वसा की आवश्यकता होती है,और दूसरे प्रकार के केक के लिए $100 \,g$ मैदा और $50 \,g$ वसा की आवश्यकता होती है। $5 \,kg$ मैदा और $1 \,kg$ वसा से बनाए जा सकने वाले केक की अधिकतम संख्या ज्ञात कीजिए,यह मानते हुए कि केक बनाने में उपयोग की जाने वाली अन्य सामग्री की कोई कमी नहीं है।

एक थोक व्यापारी $Rs \ 24000$ के साथ अनाज का व्यवसाय शुरू करना चाहता है। गेहूं की कीमत $Rs \ 400$ प्रति क्विंटल और चावल की कीमत $Rs \ 600$ प्रति क्विंटल है। उसके पास $200$ क्विंटल अनाज भंडारण करने की क्षमता है। वह गेहूं पर $Rs \ 25$ प्रति क्विंटल और चावल पर $Rs \ 40$ प्रति क्विंटल का लाभ कमाता है। यदि वह $x$ क्विंटल चावल और $y$ क्विंटल गेहूं का भंडारण करता है,तो अधिकतम लाभ के लिए उद्देश्य फलन (objective function) क्या है?

एक आहार विशेषज्ञ दो प्रकार के भोजन $X$ और $Y$ को इस तरह मिलाना चाहता है कि मिश्रण में कम से कम $10$ इकाई विटामिन $A$,$12$ इकाई विटामिन $B$ और $8$ इकाई विटामिन $C$ हो। एक $kg$ भोजन में विटामिन की मात्रा नीचे दी गई है:

भोजन	विटामिन $A$	विटामिन $B$	विटामिन $C$
$X$	$1$	$2$	$3$
$Y$	$2$	$2$	$1$

एक $kg$ भोजन $X$ की कीमत $Rs. 16$ है और एक $kg$ भोजन $Y$ की कीमत $Rs. 20$ है। आवश्यक आहार प्राप्त करने के लिए मिश्रण की न्यूनतम लागत ज्ञात कीजिए।

दी गई आकृति का छायांकित भाग सुसंगत क्षेत्र (feasible region) को दर्शाता है। तो इसके अवरोध (constraints) क्या हैं?