चार अलग-अलग रंगों की गेंदें और उन्हीं रंगों के चार बक्से हैं। गेंदों को प्रत्येक बक्से में एक-एक करके इस प्रकार रखने के कुल कितने तरीके हैं कि कोई भी गेंद अपने स्वयं के रंग के बक्से में न जाए?

यदि $4$ पत्र और $4$ लिफाफे हैं,तो सभी पत्रों को गलत लिफाफों में कितनी तरह से रखा जा सकता है?

विभिन्न रंगों की $4$ गेंदें हैं और गेंदों के रंगों के समान ही $4$ बक्से हैं। $2$ गेंदों को बक्सों में कितने तरीकों से रखा जा सकता है ताकि वे अपने संबंधित रंगों से मेल न खाएं?

$4$ पत्रों को $4$ संबोधित लिफाफों में इस प्रकार रखने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए कि कोई भी पत्र अपने सही लिफाफे में न जाए:

यदि $5$ अलग-अलग लोगों को लिखे गए $5$ पत्र और उन्हें संबोधित $5$ लिफाफे हैं,तो इन पत्रों को इस प्रकार व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या क्या है कि कोई भी पत्र अपने संबंधित लिफाफे में न जाए?

एक संगीत कक्षा में पाँच छात्र $S_1, S_2, S_3, S_4$ और $S_5$ हैं और उनके लिए एक पंक्ति में पाँच सीटें $R_1, R_2, R_3, R_4$ और $R_5$ व्यवस्थित हैं,जहाँ शुरू में सीट $R_i$ छात्र $S_i$ को आवंटित की गई है,$i = 1, 2, 3, 4, 5$। लेकिन,परीक्षा के दिन,पाँच छात्रों को यादृच्छिक रूप से पाँच सीटें आवंटित की जाती हैं।
$(1)$ परीक्षा के दिन,इस बात की प्रायिकता कि छात्र $S_1$ को पहले से आवंटित सीट $R_1$ मिले,और शेष छात्रों में से किसी को भी उसे पहले से आवंटित सीट न मिले,है
$(A)$ $\frac{3}{40}$ $(B)$ $\frac{1}{8}$ $(C)$ $\frac{7}{40}$ $(D)$ $\frac{1}{5}$
$(2)$ $i = 1, 2, 3, 4$ के लिए,मान लीजिए $T_i$ वह घटना है कि छात्र $S_i$ और $S_{i+1}$ परीक्षा के दिन एक-दूसरे के बगल में नहीं बैठते हैं। तो,घटना $T_1 \cap T_2 \cap T_3 \cap T_4$ की प्रायिकता है
$(A)$ $\frac{1}{15}$ $(B)$ $\frac{1}{10}$ $(C)$ $\frac{7}{60}$ $(D)$ $\frac{1}{5}$