એક સમબાજુ ચતુષ્કોણની બે બાજુઓ $x - y + 1 = 0$ અને $7x - y - 5 = 0$ રેખાઓ પર આવેલી છે. જો તેના વિકર્ણો $(-1, -2)$ બિંદુએ છેદતા હોય,તો નીચેનામાંથી કયું બિંદુ આ સમબાજુ ચતુષ્કોણનું શિરોબિંદુ છે?

ધારો કે $P \equiv (-1, 0)$,$Q \equiv (0, 0)$,અને $R = (3, 3\sqrt{3})$ ત્રણ બિંદુઓ છે. ખૂણા $PQR$ ના દ્વિભાજકનું સમીકરણ શું છે?

વિધાન $-I$: બે રેખાઓ જે આપેલ નિશ્ચિત બિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને તે જ બિંદુમાંથી પસાર થતી અન્ય બે રેખાઓ સાથે સમાન નમેલી છે,તે હંમેશા એકબીજાને લંબ હોય છે.
વિધાન $-II$: બે છેદતી રેખાઓના ખૂણાના દ્વિભાજકો હંમેશા એકબીજાને લંબ હોય છે.

સમદ્રિબાજુ ત્રિકોણની બે સમાન બાજુઓના સમીકરણ $7x - y + 3 = 0$ અને $x + y - 3 = 0$ છે. જો તેની ત્રીજી બાજુ બિંદુ $(1, -10)$ માંથી પસાર થતી હોય,તો તેની ત્રીજી બાજુનું સમીકરણ શોધો.

$3x + 4y - 11 = 0$ અને $12x + 5y + 2 = 0$ થી સમાન અંતરે આવેલા અને ઉગમબિંદુની નજીક હોય તેવા બિંદુઓનો બિંદુપથ શોધો.

ધારો કે $A, B, C$ એ $xy$-સમતલમાં ત્રણ બિંદુઓ છે,જેના સ્થાન સદિશો ઉગમબિંદુ $O$ ની સાપેક્ષમાં અનુક્રમે $\sqrt{3} \hat{i} + \hat{j}$,$\hat{i} + \sqrt{3} \hat{j}$ અને $a \hat{i} + (1 - a) \hat{j}$ છે. જો સદિશો $\overrightarrow{OA}$ અને $\overrightarrow{OB}$ વચ્ચેના ખૂણાને દુભાગતી રેખાથી બિંદુ $C$ નું અંતર $\frac{9}{\sqrt{2}}$ હોય,તો $a$ ની તમામ શક્ય કિંમતોનો સરવાળો કેટલો થાય?