एक सौर द्रव्यमान $\left(=2 \times 10^{30} \; kg\right)$ वाले दो तारे एक-दूसरे की ओर आमने-सामने की टक्कर के लिए आ रहे हैं। जब वे $10^{9} \; km$ की दूरी पर होते हैं,तो उनकी गति नगण्य होती है। वे किस गति से टकराएंगे? प्रत्येक तारे की त्रिज्या $10^{4} \; km$ है। मान लें कि तारे टकराने तक विकृत नहीं होते हैं। ($G = 6.67 \times 10^{-11} \; N \cdot m^{2}/kg^{2}$ का उपयोग करें)
(D) प्रत्येक तारे का द्रव्यमान,$M = 2 \times 10^{30} \; kg$.
प्रत्येक तारे की त्रिज्या,$R = 10^{4} \; km = 10^{7} \; m$.
तारों के केंद्रों के बीच की प्रारंभिक दूरी,$r = 10^{9} \; km = 10^{12} \; m$.
गति नगण्य होने के कारण प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $0$ है।
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा,$U_{i} = -\frac{GM^{2}}{r}$.
कुल प्रारंभिक ऊर्जा,$E_{i} = -\frac{GM^{2}}{r}$.
टक्कर के क्षण,केंद्रों के बीच की दूरी $2R$ है।
मान लीजिए प्रत्येक तारे की गति $v$ है।
कुल गतिज ऊर्जा,$K_{f} = \frac{1}{2}Mv^{2} + \frac{1}{2}Mv^{2} = Mv^{2}$.
कुल स्थितिज ऊर्जा,$U_{f} = -\frac{GM^{2}}{2R}$.
कुल अंतिम ऊर्जा,$E_{f} = Mv^{2} - \frac{GM^{2}}{2R}$.
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,$E_{i} = E_{f}$:
$-\frac{GM^{2}}{r} = Mv^{2} - \frac{GM^{2}}{2R}$.
$v^{2} = GM \left( \frac{1}{2R} - \frac{1}{r} \right)$.
चूंकि $r \gg 2R$,इसलिए $\frac{1}{r}$ का मान $\frac{1}{2R}$ की तुलना में नगण्य है।
$v^{2} \approx \frac{GM}{2R} = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 2 \times 10^{30}}{2 \times 10^{7}} = 6.67 \times 10^{12} \; m^{2}/s^{2}$.
$v = \sqrt{6.67 \times 10^{12}} \approx 2.58 \times 10^{6} \; m/s$.
प्रत्येक तारे की त्रिज्या,$R = 10^{4} \; km = 10^{7} \; m$.
तारों के केंद्रों के बीच की प्रारंभिक दूरी,$r = 10^{9} \; km = 10^{12} \; m$.
गति नगण्य होने के कारण प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $0$ है।
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा,$U_{i} = -\frac{GM^{2}}{r}$.
कुल प्रारंभिक ऊर्जा,$E_{i} = -\frac{GM^{2}}{r}$.
टक्कर के क्षण,केंद्रों के बीच की दूरी $2R$ है।
मान लीजिए प्रत्येक तारे की गति $v$ है।
कुल गतिज ऊर्जा,$K_{f} = \frac{1}{2}Mv^{2} + \frac{1}{2}Mv^{2} = Mv^{2}$.
कुल स्थितिज ऊर्जा,$U_{f} = -\frac{GM^{2}}{2R}$.
कुल अंतिम ऊर्जा,$E_{f} = Mv^{2} - \frac{GM^{2}}{2R}$.
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,$E_{i} = E_{f}$:
$-\frac{GM^{2}}{r} = Mv^{2} - \frac{GM^{2}}{2R}$.
$v^{2} = GM \left( \frac{1}{2R} - \frac{1}{r} \right)$.
चूंकि $r \gg 2R$,इसलिए $\frac{1}{r}$ का मान $\frac{1}{2R}$ की तुलना में नगण्य है।
$v^{2} \approx \frac{GM}{2R} = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 2 \times 10^{30}}{2 \times 10^{7}} = 6.67 \times 10^{12} \; m^{2}/s^{2}$.
$v = \sqrt{6.67 \times 10^{12}} \approx 2.58 \times 10^{6} \; m/s$.
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