सारणिकों के गुणधर्मों का उपयोग करके और बिना विस्तार किए सिद्ध कीजिए कि:
$\left|\begin{array}{lll}a-b & b-c & c-a \\ b-c & c-a & a-b \\ c-a & a-b & b-c\end{array}\right|=0$
$\left|\begin{array}{lll}a-b & b-c & c-a \\ b-c & c-a & a-b \\ c-a & a-b & b-c\end{array}\right|=0$
(N/A) माना कि $\Delta = \left|\begin{array}{lll}a-b & b-c & c-a \\ b-c & c-a & a-b \\ c-a & a-b & b-c\end{array}\right|$.
संक्रिया $R_{1} \rightarrow R_{1} + R_{2} + R_{3}$ लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}(a-b) + (b-c) + (c-a) & (b-c) + (c-a) + (a-b) & (c-a) + (a-b) + (b-c) \\ b-c & c-a & a-b \\ c-a & a-b & b-c\end{array}\right|$
प्रथम पंक्ति के अवयवों को सरल करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ b-c & c-a & a-b \\ c-a & a-b & b-c\end{array}\right|$
चूँकि प्रथम पंक्ति $R_{1}$ के सभी अवयव $0$ हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।
$\therefore \Delta = 0$.
संक्रिया $R_{1} \rightarrow R_{1} + R_{2} + R_{3}$ लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}(a-b) + (b-c) + (c-a) & (b-c) + (c-a) + (a-b) & (c-a) + (a-b) + (b-c) \\ b-c & c-a & a-b \\ c-a & a-b & b-c\end{array}\right|$
प्रथम पंक्ति के अवयवों को सरल करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ b-c & c-a & a-b \\ c-a & a-b & b-c\end{array}\right|$
चूँकि प्रथम पंक्ति $R_{1}$ के सभी अवयव $0$ हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।
$\therefore \Delta = 0$.
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$\left|\begin{array}{ccc}a-b-c & 2 a & 2 a \\ 2 b & b-c-a & 2 b \\ 2 c & 2 c & c-a-b\end{array}\right|=(a+b+c)^{3}$
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Difficult
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