સદિશોનો ઉપયોગ કરીને,શિરોબિંદુઓ $A(1, 2, 3)$,$B(2, -1, 4)$ અને $C(4, 5, -1)$ ધરાવતા ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ શોધો.

(N/A) શિરોબિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\vec{A} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{B} = 2\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}$,અને $\vec{C} = 4\hat{i} + 5\hat{j} - \hat{k}$ છે.
પ્રથમ,આપણે સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{AC}$ શોધીએ:
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (2-1)\hat{i} + (-1-2)\hat{j} + (4-3)\hat{k} = \hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (4-1)\hat{i} + (5-2)\hat{j} + (-1-3)\hat{k} = 3\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$
હવે,સદિશ ગુણાકાર $\vec{AB} \times \vec{AC}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -3 & 1 \\ 3 & 3 & -4 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-3)(-4) - (1)(3)) - \hat{j}((1)(-4) - (1)(3)) + \hat{k}((1)(3) - (-3)(3))$
$= \hat{i}(12 - 3) - \hat{j}(-4 - 3) + \hat{k}(3 + 9)$
$= 9\hat{i} + 7\hat{j} + 12\hat{k}$
આગળ,સદિશ ગુણાકારનું માન શોધીએ:
$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{9^2 + 7^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 49 + 144} = \sqrt{274}$
ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$ દ્વારા મળે છે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \sqrt{274} \text{ ચોરસ એકમ}$.