जब x 0 हो,तब int cos^{-1}left(frac{1-x^{2}} | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि $x > 0$ के लिए,हमें $I = \int \cos^{-1}\left(\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}\right) dx$ का मूल्यांकन करना है। त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन $x =

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$2x 	an^{-1} x - \log(1+x^{2}) + C$

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(D) दिया गया है कि $x > 0$ के लिए,हमें $I = \int \cos^{-1}\left(\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}ight) dx$ का मूल्यांकन करना है। त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन $x = 	an 	heta$ का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $x > 0$ के लिए,$\cos^{-1}\left(\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}ight) = 2 	an^{-1} x$ होता है। इसे समाकलन में रखने पर,हमें $I = \int 2 	an^{-1} x dx = 2 \int 	an^{-1} x dx$ प्राप्त होता है। खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $u = 	an^{-1} x$ और $dv = dx$ है। तब $du = \frac{1}{1+x^{2}} dx$ और $v = x$ होगा। $I = 2 \left( x 	an^{-1} x - \int \frac{x}{1+x^{2}} dx ight)$। $\int \frac{x}{1+x^{2}} dx$ को हल करने के लिए,मान लीजिए $t = 1+x^{2}$,तब $dt = 2x dx$,अर्थात $x dx = \frac{1}{2} dt$ होगा। अतः,$\int \frac{x}{1+x^{2}} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt = \frac{1}{2} \log(1+x^{2})$ होगा। इस मान को वापस रखने पर,$I = 2x 	an^{-1} x - 2 \left( \frac{1}{2} \log(1+x^{2}) ight) + C = 2x 	an^{-1} x - \log(1+x^{2}) + C$ प्राप्त होता है।

जब $x > 0$ हो,तब $\int \cos^{-1}\left(\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}\right) dx$ का मान क्या है?

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