निम्नलिखित में से कौन सा दीर्घवृत्त frac{x^2} | vedclass

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Question

(B) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2 + b^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्शरेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{(a^2 + b^2)m^2 + b^2}$ है।यदि यह रेखा दीर्घवृत्

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$by = ax - \sqrt{a^4 + a^2b^2 + b^4}$

Vedclass · Answer

(B) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2 + b^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्शरेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{(a^2 + b^2)m^2 + b^2}$ है।यदि यह रेखा दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2 + b^2} = 1$ की भी स्पर्शरेखा है,तो स्पर्शरेखा की शर्त $c^2 = A^2m^2 + B^2$ संतुष्ट होनी चाहिए,जहाँ $A^2 = a^2$ और $B^2 = a^2 + b^2$ है।अतः,$(a^2 + b^2)m^2 + b^2 = a^2m^2 + (a^2 + b^2)$.इसे सरल करने पर,$a^2m^2 + b^2m^2 + b^2 = a^2m^2 + a^2 + b^2$,जिसका अर्थ है $b^2m^2 = a^2$.इसलिए,$m^2 = \frac{a^2}{b^2}$,यानी $m = \pm \frac{a}{b}$.$m = \pm \frac{a}{b}$ को स्पर्शरेखा के समीकरण में रखने पर:$y = \pm \frac{a}{b}x \pm \sqrt{(a^2 + b^2)\frac{a^2}{b^2} + b^2} = \pm \frac{a}{b}x \pm \sqrt{\frac{a^4 + a^2b^2 + b^4}{b^2}}$.$b$ से गुणा करने पर,हमें $by = \pm ax \pm \sqrt{a^4 + a^2b^2 + b^4}$ प्राप्त होता है।दिए गए विकल्पों से तुलना करने पर,$by = ax - \sqrt{a^4 + a^2b^2 + b^4}$ एक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा है।

निम्नलिखित में से कौन सा दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2 + b^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ और $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2 + b^2} = 1$ की उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा है?

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