बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य। अपने उत्तरों का औचित्य दीजिए।
$(i)$ प्रत्येक द्विघात समीकरण के अधिकतम दो मूल होते हैं।
$(ii)$ यदि एक द्विघात समीकरण में $x^{2}$ का गुणांक और अचर पद विपरीत चिह्न के हों,तो द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक होते हैं।

(A) $(i)$ सत्य। एक द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप में होता है जहाँ $a \neq 0$। बीजगणित के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$n$ घात वाले बहुपद के अधिकतम $n$ मूल होते हैं। चूँकि द्विघात समीकरण की घात $2$ है,इसलिए इसके अधिकतम $2$ मूल हो सकते हैं।
$(ii)$ सत्य। द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D = b^{2} - 4ac$ होता है। यदि $x^{2}$ का गुणांक $(a)$ और अचर पद $(c)$ विपरीत चिह्न के हैं,तो $ac < 0$ होगा। परिणामस्वरूप,$-4ac > 0$ होगा। चूँकि $b^{2} \geq 0$,इसलिए $D = b^{2} - 4ac > 0$ प्राप्त होता है। चूँकि विविक्तकर धनात्मक है,इसलिए द्विघात समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं।