$\sum\limits_{n = 0}^4 {{{\left( {1009 - 2n} \right)}^4} \binom{4}{n} {\left( { - 1} \right)^n}}$ ની કિંમત શું છે?

જો $\left(1+\frac{1}{x}\right)^6\left(1+x^2\right)^7\left(1-x^3\right)^8 ; x \neq 0$ ના વિસ્તરણમાં $x^{30}$ નો સહગુણક $\alpha$ હોય,તો $|\alpha|$ ની કિંમત શોધો.

જો $1 + (2 + {}^{49}C_{1} + {}^{49}C_{2} + \dots + {}^{49}C_{49})({}^{50}C_{2} + {}^{50}C_{4} + \dots + {}^{50}C_{50})$ એ $2^{n} \cdot m$ બરાબર હોય,જ્યાં $m$ એકી સંખ્યા છે,તો $n + m$ ની કિંમત શોધો.

$(1+2x)^n$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણમાં તમામ સહગુણકોનો સરવાળો $6561$ છે. ધારો કે $R=(1+2x)^n=I+F$,જ્યાં $I \in N$ અને $0 < F < 1$. જો $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ હોય,તો $1-\frac{F}{1+(\sqrt{2}-1)^4}=$

ધારો કે $a > b > 0$ અને $f(n) = a^{1/n} - b^{1/n}$, $J(n) = (a - b)^{1/n}$ તમામ $n \geq 2$ માટે. તો:

જો $(1+x+x^2+x^3)^{100}$ ના વિસ્તરણમાં $x^r$ નો સહગુણક $a_r$ હોય,અને $S = \sum_{r=0}^{300} a_r$ હોય,તો $\sum_{r=0}^{300} r \cdot a_r =$