$\sin ^{-1}(\sin 100) + \cos ^{-1}(\cos 100) + \tan ^{-1}(\tan 100) + \cot ^{-1}(\cot 100)$ का मान क्या है?

मान लीजिए कि $3.13 \leq \pi \leq 3.15$ है। $\sin ^{-1}(\sin 1 \cos 4+\cos 1 \sin 4)$ के मान के निकटतम पूर्णांक ज्ञात कीजिए,जहाँ $\sin$ और $\cos$ में $1$ और $4$ रेडियन में दिए गए हैं।

मान लीजिए कि $f:[0, 4\pi] \rightarrow [0, \pi]$,$f(x) = \cos^{-1}(\cos x)$ द्वारा परिभाषित है। समीकरण $f(x) = \frac{10-x}{10}$ को संतुष्ट करने वाले $x \in [0, 4\pi]$ बिंदुओं की संख्या है

यदि $\alpha = 3 \sin^{-1}\left(\frac{6}{11}\right)$ और $\beta = 3 \cos^{-1}\left(\frac{4}{9}\right)$ है,जहाँ प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन केवल मुख्य मान लेते हैं,तो सही विकल्प है/हैं:
$(A) \cos \beta > 0$
$(B) \sin \beta < 0$
$(C) \cos(\alpha + \beta) > 0$
$(D) \cos \alpha < 0$

समीकरण $\theta=\tan ^{-1}(2 \tan \theta)-\frac{1}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{6 \tan \theta}{9+\tan ^2 \theta}\right)$ के वास्तविक हलों की कुल संख्या क्या है? $($यहाँ,प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन $\sin ^{-1} x$ और $\tan ^{-1} x$ क्रमशः $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ और $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ में मान ग्रहण करते हैं.$)$

$x$ का मान ज्ञात कीजिए, जहाँ $x>0$ और $\tan \left(\sec ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)\right)=\sin \left(\tan ^{-1} 2\right)$ है।