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Question

(D) दी गई अभिव्यक्ति $\mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \sum\limits_{r = 1}^{2n} {\frac{n}{{{n^2} + {r^2}}}}$ है।हम सामान्य पद को $\frac{n}{n^2(1

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$	an^{-1}(2)$

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(D) दी गई अभिव्यक्ति $\mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \sum\limits_{r = 1}^{2n} {\frac{n}{{{n^2} + {r^2}}}}$ है।हम सामान्य पद को $\frac{n}{n^2(1 + (r/n)^2)} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 + (r/n)^2}$ के रूप में लिख सकते हैं।निश्चित समाकलन की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \sum\limits_{r=1}^{kn} \frac{1}{n} f(\frac{r}{n}) = \int_0^k f(x) dx$ होता है।यहाँ,$f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ है और ऊपरी सीमा $2$ है (क्योंकि $r$ का मान $2n$ तक जाता है)।अतः,समाकलन $\int_0^2 \frac{1}{1+x^2} dx$ हो जाता है।समाकलन का मान ज्ञात करने पर,हमें $[	an^{-1}(x)]_0^2 = 	an^{-1}(2) - 	an^{-1}(0) = 	an^{-1}(2)$ प्राप्त होता है।

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \,\left( {\frac{n}{{{n^2} + {1^2}}} + \frac{n}{{{n^2} + {2^2}}} + \frac{n}{{{n^2} + {3^2}}} + ... + \frac{n}{{{n^2} + {{(2n)}^2}}}} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\lim _{n \rightarrow \infty} n^4\left[\frac{1}{n^5}+\frac{1}{\left(n^2+1\right)^{\frac{5}{2}}}+\frac{1}{\left(n^2+4\right)^{\frac{5}{2}}}+\frac{1}{\left(n^2+9\right)^{\frac{5}{2}}}+\ldots+\right]=$

$\int_0^3 (2+x^2) dx = $

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n^3}\right)^{\frac{1}{n^3}}\left(1+\frac{8}{n^3}\right)^{\frac{4}{n^3}}\left(1+\frac{27}{n^3}\right)^{\frac{9}{n^3}} \ldots \left(1+\frac{n^3}{n^3}\right)^{\frac{n^2}{n^3}}\right]=$

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1^k+2^k+3^k+\ldots+n^k}{n^{k+1}}\right]=$

निश्चित समाकलन की परिभाषा द्वारा, $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1^4}{1^5+n^5}+\frac{2^4}{2^5+n^5}+\frac{3^4}{3^5+n^5}+\ldots+\frac{n^4}{n^5+n^5}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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