निश्चित समाकलन की परिभाषा द्वारा, lim _{n rig | vedclass

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Question

(B) दी गई सीमा $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{r^4}{r^5+n^5}$ है।हम इसे $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{

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$B$. $\frac{1}{5} \log 2$

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(B) दी गई सीमा $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{r^4}{r^5+n^5}$ है।हम इसे $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{r^4}{n^5( (r/n)^5 + 1 )} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \frac{(r/n)^4}{(r/n)^5 + 1}$ के रूप में लिख सकते हैं।निश्चित समाकलन की परिभाषा का उपयोग करते हुए, $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f(r/n) = \int_0^1 f(x) dx$ होता है।यहाँ, $f(x) = \frac{x^4}{x^5 + 1}$ है।अतः, $S = \int_0^1 \frac{x^4}{x^5 + 1} dx$ है।माना $t = x^5 + 1$, तो $dt = 5x^4 dx$, या $x^4 dx = \frac{dt}{5}$ है।जब $x = 0$, तो $t = 1$ है। जब $x = 1$, तो $t = 2$ है।$S = \int_1^2 \frac{1}{t} \cdot \frac{dt}{5} = \frac{1}{5} [\ln |t|]_1^2 = \frac{1}{5} (\ln 2 - \ln 1) = \frac{1}{5} \ln 2$।

निश्चित समाकलन की परिभाषा द्वारा, $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1^4}{1^5+n^5}+\frac{2^4}{2^5+n^5}+\frac{3^4}{3^5+n^5}+\ldots+\frac{n^4}{n^5+n^5}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$f(n) = n + \sum_{r=1}^n \frac{16r + (9-4r)n - 3n^2}{4rn + 3n^2}$ परिभाषित करें। तो,$\lim_{n \rightarrow \infty} f(n)$ का मान किसके बराबर है?

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1} + \sqrt{2} + \dots + \sqrt{n}}{n^{\frac{3}{2}}} =$

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n}\sum\limits_{r = 1}^{2n} {\frac{r}{{\sqrt {{n^2} + {r^2}} }}} $ का मान ज्ञात कीजिए।

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1^k+2^k+3^k+\ldots+n^k}{n^{k+1}}\right]=$

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