નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યા દ્વારા, lim _{n righ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ લક્ષ $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{r^4}{r^5+n^5}$ છે.આપણે તેને $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \fra

Vedclass · Accepted Answer

$B$. $\frac{1}{5} \log 2$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ લક્ષ $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{r^4}{r^5+n^5}$ છે.આપણે તેને $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{r^4}{n^5( (r/n)^5 + 1 )} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \frac{(r/n)^4}{(r/n)^5 + 1}$ તરીકે લખી શકીએ.નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યા મુજબ, $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f(r/n) = \int_0^1 f(x) dx$.અહીં, $f(x) = \frac{x^4}{x^5 + 1}$.તેથી, $S = \int_0^1 \frac{x^4}{x^5 + 1} dx$.ધારો કે $t = x^5 + 1$, તો $dt = 5x^4 dx$, અથવા $x^4 dx = \frac{dt}{5}$.જ્યારે $x = 0$, ત્યારે $t = 1$. જ્યારે $x = 1$, ત્યારે $t = 2$.$S = \int_1^2 \frac{1}{t} \cdot \frac{dt}{5} = \frac{1}{5} [\ln |t|]_1^2 = \frac{1}{5} (\ln 2 - \ln 1) = \frac{1}{5} \ln 2$.

નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યા દ્વારા, $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1^4}{1^5+n^5}+\frac{2^4}{2^5+n^5}+\frac{3^4}{3^5+n^5}+\ldots+\frac{n^4}{n^5+n^5}\right)$ નું મૂલ્ય શોધો.

Similar Questions

ધારો કે $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+kn+k^2}$ અને $T_n = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{n}{n^2+kn+k^2}$ જ્યાં $n=1, 2, 3, \ldots$ છે. તો,

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} \frac{1}{n} \left[ \frac{1}{n} \sin ^{-1} \frac{1}{n} + \frac{2}{n} \sin ^{-1} \frac{2}{n} + \dots + \frac{n}{n} \sin ^{-1} \frac{n}{n} \right] =$

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left[\sin \frac{\pi}{4}+\sin \frac{\pi}{12}\left(3+\frac{1}{n}\right)+\sin \frac{\pi}{12}\left(3+\frac{2}{n}\right)+\ldots+\sin \frac{\pi}{3}\right]=$

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {\frac{1}{n} + \frac{1}{{\sqrt {{n^2} + n} }} + \frac{1}{{\sqrt {{n^2} + 2n} }} + \dots + \frac{1}{{\sqrt {{n^2} + (n - 1)n} }}} \right]$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module