$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} \frac{1}{n} \left[ \frac{1}{n} \sin ^{-1} \frac{1}{n} + \frac{2}{n} \sin ^{-1} \frac{2}{n} + \dots + \frac{n}{n} \sin ^{-1} \frac{n}{n} \right] =$

આપેલ છે કે $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n p} f\left(\frac{r}{n}\right)=\int_0^p f(x) d x$. જો $f: R \rightarrow R$ એ $f(x)=x^2+2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય, તો $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3}{n}\left[f\left(\frac{7}{n}\right)+f\left(\frac{14}{n}\right)+f\left(\frac{21}{n}\right)+\ldots+f(7)\right]=$

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left[\sin \frac{\pi}{4}+\sin \frac{\pi}{12}\left(3+\frac{1}{n}\right)+\sin \frac{\pi}{12}\left(3+\frac{2}{n}\right)+\ldots+\sin \frac{\pi}{3}\right]=$

ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,$f(n) = n + \sum_{r=1}^n \frac{16r + (9-4r)n - 3n^2}{4rn + 3n^2}$ વ્યાખ્યાયિત કરો. તો,$\lim_{n \rightarrow \infty} f(n)$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1^k+2^k+3^k+\ldots+n^k}{n^{k+1}}\right]=$

જો $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{1^a} + {2^a} + \dots + {n^a}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^{a - 1}}\left[ {\left( {na + 1} \right) + \dots + \left( {na + n} \right)} \right]}} = \frac{1}{{60}}$ કોઈ ધન વાસ્તવિક સંખ્યા $a$ માટે હોય,તો $a$ ની કિંમત શોધો.