lim _{n} {rightarrow infty} frac{1}{n} left[ | vedclass

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Question

(C) दिया गया व्यंजक $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \frac{r}{n} \sin ^{-1} \left( \frac{r}{n} \right)$ है।यह एक रीमान योग है,जि

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$\frac{\pi}{8}$

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(C) दिया गया व्यंजक $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \frac{r}{n} \sin ^{-1} \left( \frac{r}{n} \right)$ है।यह एक रीमान योग है,जिसे निश्चित समाकलन $\int_0^1 x \sin ^{-1} x \, dx$ के रूप में लिखा जा सकता है।खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = \sin ^{-1} x$ और $dv = x \, dx$ लेने पर,$du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$ और $v = \frac{x^2}{2}$ प्राप्त होता है।$\int_0^1 x \sin ^{-1} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \sin ^{-1} x \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{x^2}{2 \sqrt{1-x^2}} \, dx$.प्रथम पद का मान: $\left[ \frac{1^2}{2} \sin ^{-1}(1) - 0 \right] = \frac{\pi}{4}$.दूसरे पद के लिए: $-\frac{1}{2} \int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = -\frac{1}{2} \int_0^1 \frac{x^2 - 1 + 1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \frac{1}{2} \int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx - \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$.मानक समाकलन का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{2} \left[ \frac{x}{2} \sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2} \sin ^{-1} x \right]_0^1 - \frac{1}{2} \left[ \sin ^{-1} x \right]_0^1 = \frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{8}$.कुल योग: $\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{8}$.

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} \frac{1}{n} \left[ \frac{1}{n} \sin ^{-1} \frac{1}{n} + \frac{2}{n} \sin ^{-1} \frac{2}{n} + \dots + \frac{n}{n} \sin ^{-1} \frac{n}{n} \right] =$

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$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n^3}\right)^{\frac{1}{n^3}}\left(1+\frac{8}{n^3}\right)^{\frac{4}{n^3}}\left(1+\frac{27}{n^3}\right)^{\frac{9}{n^3}} \ldots \left(1+\frac{n^3}{n^3}\right)^{\frac{n^2}{n^3}}\right]=$

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{k+1}}\left[2^k+4^k+6^k+\ldots+(2 n)^k\right]=$

$\lim _{n \rightarrow \infty} \left( \frac{\sqrt{1} + 2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{3} + \ldots + n \sqrt{n}}{n^{5/2}} \right) = $

निम्नलिखित कथनों में से:
$(S1): \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2}(2+4+6+\ldots+2n)=1$
$(S2): \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{16}}(1^{15}+2^{15}+3^{15}+\ldots+n^{15})=\frac{1}{16}$

$\lim _{n \rightarrow \infty} \left[ \frac{n}{n^{2}+1^{2}} + \frac{n}{n^{2}+2^{2}} + \ldots + \frac{n}{n^{2}+n^{2}} \right]$ का मान है

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