lim _{n rightarrow infty} left[ frac{n}{n^{2} | vedclass

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Question

(B) दी गई सीमा $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{n}{n^{2}+r^{2}}$ है।अंश और हर को $n^{2}$ से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता ह

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$\frac{\pi}{4}$

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(B) दी गई सीमा $L = \lim _{n ightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{n}{n^{2}+r^{2}}$ है।अंश और हर को $n^{2}$ से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है:$L = \lim _{n ightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{1/n}{1+(r/n)^{2}}$.निश्चित समाकल की परिभाषा का उपयोग करते हुए, $\lim _{n ightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f\left(\frac{r}{n}ight) = \int_{0}^{1} f(x) dx$, जहाँ $f(x) = \frac{1}{1+x^{2}}$ है।अतः, $L = \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^{2}} dx$.समाकल का मान निकालने पर, $L = [	an ^{-1} x]_{0}^{1}$.$L = 	an ^{-1}(1) - 	an ^{-1}(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$.

$\lim _{n \rightarrow \infty} \left[ \frac{n}{n^{2}+1^{2}} + \frac{n}{n^{2}+2^{2}} + \ldots + \frac{n}{n^{2}+n^{2}} \right]$ का मान है

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निम्नलिखित निश्चित समाकल का योगफल की सीमा के रूप में मान ज्ञात कीजिए:
$\int_{0}^{4} (x + e^{2x}) \, dx$

यदि $a = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{2n}{n^2+k^2}$ और $f(x) = \sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}$,$x \in (0, 1)$,तो:

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( \frac{1^2}{1^3 + n^3} + \frac{2^2}{2^3 + n^3} + \dots + \frac{n^2}{n^3 + n^3} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

सीमा का मान ज्ञात कीजिए: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3}{n}\left\{1+\sqrt{\frac{n}{n+3}}+\sqrt{\frac{n}{n+6}}+\sqrt{\frac{n}{n+9}}+\ldots+\sqrt{\frac{n}{n+3(n-1)}}\right\}$

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^n (k^2 x)$ का मान है

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