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Question

(B) माना $S = \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \sum\limits_{r = 1}^n \frac{r^2}{r^3 + n^3}$.हम योग को इस प्रकार लिख सकते हैं:$S = \mathop {\lim

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$\frac{1}{3}{\log _e}2$

Vedclass · Answer

(B) माना $S = \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \sum\limits_{r = 1}^n \frac{r^2}{r^3 + n^3}$.हम योग को इस प्रकार लिख सकते हैं:$S = \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \sum\limits_{r = 1}^n \frac{r^2}{n^3 \left( \left( \frac{r}{n} ight)^3 + 1 ight)}$.$n$ से गुणा और भाग करने पर,हमें प्राप्त होता है:$S = \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \sum\limits_{r = 1}^n \frac{1}{n} \cdot \frac{(r/n)^2}{1 + (r/n)^3}$.निश्चित समाकलन की परिभाषा के अनुसार,$\mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \sum\limits_{r = 1}^n \frac{1}{n} f\left( \frac{r}{n} ight) = \int_0^1 f(x) dx$,जहाँ $f(x) = \frac{x^2}{1 + x^3}$.अतः,$S = \int_0^1 \frac{x^2}{1 + x^3} dx$.माना $u = 1 + x^3$,तो $du = 3x^2 dx$,या $x^2 dx = \frac{1}{3} du$.जब $x = 0, u = 1$. जब $x = 1, u = 2$.$S = \frac{1}{3} \int_1^2 \frac{1}{u} du = \frac{1}{3} [\log_e u]_1^2 = \frac{1}{3} (\log_e 2 - \log_e 1) = \frac{1}{3} \log_e 2$.

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( \frac{1^2}{1^3 + n^3} + \frac{2^2}{2^3 + n^3} + \dots + \frac{n^2}{n^3 + n^3} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\lim _{n \rightarrow \infty} \left[ \frac{n}{n^{2}+1^{2}} + \frac{n}{n^{2}+2^{2}} + \ldots + \frac{n}{n^{2}+n^{2}} \right]$ का मान है

$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{n^3}{(n^2+k^2)(n^2+3k^2)}$ का मान क्या है?

यदि $a = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{2n}{n^2+k^2}$ और $f(x) = \sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}$,$x \in (0, 1)$,तो:

सीमा का मान ज्ञात कीजिए: $\lim_{n \to \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{n}{n^2 + r^2}$

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