$(a)$ यह ज्ञात है कि हवा का घनत्व $\rho$ ऊँचाई $y$ के साथ $\rho = \rho_{0} e^{-y / y_{0}}$ के रूप में घटता है,जहाँ $\rho_{0} = 1.25 \; kg \, m^{-3}$ समुद्र तल पर घनत्व है,और $y_{0}$ एक स्थिरांक है। घनत्व में इस परिवर्तन को वायुमंडल का नियम कहा जाता है। यह मानते हुए कि वायुमंडल का तापमान स्थिर रहता है (समतापीय स्थितियाँ),इस नियम को प्राप्त करें। यह भी मान लें कि $g$ का मान स्थिर रहता है।
$(b)$ $1425 \; m^{3}$ आयतन वाले एक बड़े $He$ गुब्बारे का उपयोग $400 \; kg$ के पेलोड को उठाने के लिए किया जाता है। मान लें कि गुब्बारा ऊपर उठते समय अपनी त्रिज्या स्थिर रखता है। यह कितनी ऊँचाई तक ऊपर उठता है?
[$y_{0} = 8000 \; m$ और $\rho_{He} = 0.18 \; kg \, m^{-3}$ लें]

(N/A) मान लीजिए ऊँचाई $y$ पर दबाव $P$ है। ऊँचाई में छोटे परिवर्तन $dy$ के लिए दबाव में परिवर्तन $dP = -\rho g dy$ है।
चूँकि वायुमंडल समतापीय है,$PV = nRT$,जिसका अर्थ है $P = \frac{\rho RT}{M}$,जहाँ $M$ हवा का मोलर द्रव्यमान है।
अतः,$\rho = \frac{PM}{RT}$। इसे दबाव समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $dP = -\frac{PM}{RT} g dy$,या $\frac{dP}{P} = -\frac{Mg}{RT} dy$।
$y=0$ (जहाँ $P=P_{0}$) से $y$ (जहाँ $P=P$) तक समाकलन करने पर: $\ln(\frac{P}{P_{0}}) = -\frac{Mg}{RT} y$।
इसलिए,$P = P_{0} e^{-y/y_{0}}$,जहाँ $y_{0} = \frac{RT}{Mg}$ है। स्थिर तापमान पर $\rho \propto P$ होने के कारण,$\rho = \rho_{0} e^{-y/y_{0}}$।
$(b)$ गुब्बारा तब तक ऊपर उठता है जब तक उसका घनत्व $\rho$ आसपास की हवा के घनत्व के बराबर न हो जाए।
गुब्बारे प्रणाली का कुल द्रव्यमान $M_{total} = m_{payload} + m_{He} = 400 + (1425 \times 0.18) = 400 + 256.5 = 656.5 \; kg$।
गुब्बारे का घनत्व $\rho = \frac{M_{total}}{V} = \frac{656.5}{1425} \approx 0.4607 \; kg \, m^{-3}$।
वायुमंडल के नियम का उपयोग करते हुए: $\rho = \rho_{0} e^{-y/y_{0}} \implies 0.4607 = 1.25 e^{-y/8000}$।
$\ln(\frac{0.4607}{1.25}) = -\frac{y}{8000} \implies \ln(0.36856) = -\frac{y}{8000}$।
$-0.998 \approx -\frac{y}{8000} \implies y \approx 8000 \; m = 8 \; km$।