ખાલી જગ્યા પૂરો:
$(1)$ જો $|\vec{A} \times \vec{B}| = \vec{A} \cdot \vec{B}$ હોય,તો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો ............ થાય.
$(2)$ ચાકગતિ કરતાં કણના કોણીય વેગમાન અને રેખીય વેગમાન વચ્ચેનો ખૂણો ............ થાય.
$(3)$ $(2\hat{i} + \hat{j})$ સ્થાન સદિશ ધરાવતા કણ પર $F\hat{k}$ બળ લાગે છે,તો કણ પર લાગતું ટોર્ક ............ થાય.

$L$ લંબાઈનો એક સખત સમાન સળિયો $AB$ ઘર્ષણરહિત સપાટી પર તેની ઉભી સ્થિતિમાંથી લપસી રહ્યો છે (આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ). કોઈ એક સમયે,સળિયા દ્વારા શિરોલંબ સાથે બનાવેલો ખૂણો $\theta$ છે. તેની ગતિ વિશે નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?
$[A]$ સળિયાનું મધ્યબિંદુ શિરોલંબ નીચેની તરફ પડશે
$[B]$ બિંદુ $A$ નો ગતિપથ પરવલય છે
$[C]$ જમીન સાથે સંપર્કમાં રહેલા બિંદુની સાપેક્ષે તાત્ક્ષણિક ટોર્ક $\sin \theta$ ના પ્રમાણમાં છે
$[D]$ જ્યારે સળિયો શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે,ત્યારે તેના મધ્યબિંદુનું પ્રારંભિક સ્થિતિથી સ્થાનાંતર $(1-\cos \theta)$ ના પ્રમાણમાં છે

$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી એક સમાન પાતળી નળાકાર ડિસ્કને બે સમાન દળરહિત સ્પ્રિંગ્સ સાથે જોડવામાં આવી છે,જેનો સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ છે અને તે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ દીવાલ સાથે જોડાયેલ છે. સ્પ્રિંગ્સ ડિસ્કની ધરી સાથે તેના કેન્દ્રથી $d$ અંતરે બંને બાજુએ સપ્રમાણ રીતે જોડાયેલ છે. ધરી દળરહિત છે અને સ્પ્રિંગ્સ તથા ધરી બંને સમક્ષિતિજ સમતલમાં છે. દરેક સ્પ્રિંગની ખેંચાયા વગરની લંબાઈ $L$ છે. ડિસ્ક શરૂઆતમાં તેની સંતુલન સ્થિતિમાં છે અને તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(CM)$ દીવાલથી $L$ અંતરે છે. ડિસ્ક $V_0 \hat{i}$ વેગ સાથે સરક્યા વિના ગબડે છે. ઘર્ષણાંક $\mu$ છે.
$1.$ જ્યારે ડિસ્કનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેની સંતુલન સ્થિતિથી $x$ જેટલું સ્થાનાંતરિત થાય ત્યારે તેના પર લાગતું કુલ બાહ્ય બળ કેટલું હશે?
$(A) -kx$ $(B) -2kx$ $(C) -\frac{2kx}{3}$ $(D) -\frac{4kx}{3}$
$2.$ ડિસ્કનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર કઈ કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ સાથે સરળ આવર્ત ગતિ કરે છે?
$(A) \sqrt{\frac{k}{M}}$ $(B) \sqrt{\frac{2k}{M}}$ $(C) \sqrt{\frac{2k}{3M}}$ $(D) \sqrt{\frac{4k}{3M}}$
$3.$ $V_0$ નું મહત્તમ મૂલ્ય કેટલું હશે જેના માટે ડિસ્ક સરક્યા વિના ગબડશે?
$(A) \mu g \sqrt{\frac{M}{k}}$ $(B) \mu g \sqrt{\frac{M}{2k}}$ $(C) \mu g \sqrt{\frac{3M}{k}}$ $(D) \mu g \sqrt{\frac{5M}{2k}}$

એક ખરબચડી આડી સપાટી પર મૂકવામાં આવેલી સમાન વર્તુળાકાર ડિસ્ક પાસે શરૂઆતમાં $v_0$ વેગ અને $\omega_0$ કોણીય વેગ છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. ગતિની દિશામાં થોડું અંતર કાપ્યા પછી ડિસ્ક સ્થિર થઈ જાય છે. તો $\frac{v_0}{r\omega_0}$ નું મૂલ્ય શું હશે?

$10 \ cm$ બાજુની લંબાઈ ધરાવતી એક ચોરસ લેમિના $OABC$ ને $O$ પર પીવટ કરવામાં આવી છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ લેમિના પર બળો લાગે છે. જો લેમિના સ્થિર રહેતી હોય,તો $F$ નું મૂલ્ય કેટલું હશે?

$m = 1 \, kg$ દળનો એક બ્લોક $v = 6 \, m/s$ ના વેગ સાથે ઘર્ષણરહિત સમક્ષિતિજ સપાટી પર સરકે છે અને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ એક સમાન ઉર્ધ્વ સળિયા સાથે અથડાઈને તેને ચોંટી જાય છે. સળિયો $O$ બિંદુએ ધરી પર ફરે છે અને અથડામણને પરિણામે તે થોડી ક્ષણ માટે સ્થિર થાય તે પહેલાં $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. જો સળિયાનું દળ $M = 2 \, kg$ અને લંબાઈ $l = 1 \, m$ હોય,તો $\theta$ નું મૂલ્ય આશરે કેટલું હશે ($^{\circ}$ માં)? ($g = 10 \, m/s^2$ લો)