बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य:
$(1)$ संवेग संरक्षण के नियम में द्रव्यमान केंद्र का वेग नियत रहता है।
$(2)$ "यदि किसी निकाय पर आंतरिक बलों का परिणामी बल शून्य है, तो निकाय का कुल रैखिक संवेग नियत रहता है।" यह रैखिक संवेग संरक्षण के नियम का कथन है।
$(3)$ किसी दृढ़ पिंड के द्रव्यमान केंद्र की स्थिति हमेशा दृढ़ पिंड के अंदर ही होती है।
$(4)$ घूर्णन गति कर रहे किसी दृढ़ पिंड के सभी कणों का रैखिक वेग समान होता है।

समान द्रव्यमान और त्रिज्या की एक रिंग और एक ठोस गोला अपने-अपने व्यास के परितः समान कोणीय वेग से घूर्णन कर रहे हैं। निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?

एक पतली एकसमान छड़ एक घर्षणरहित क्षैतिज सतह पर रखी है और सतह पर किसी भी तरह से चलने के लिए स्वतंत्र है। इसका द्रव्यमान $0.300 \, kg$ और लंबाई $2 \, m$ है। प्रत्येक $0.100 \, kg$ द्रव्यमान वाले दो कण उसी सतह पर छड़ के दोनों सिरों की ओर छड़ के लंबवत दिशा में गति कर रहे हैं। एक कण $10 \, m/s$ के वेग से एक सिरे की ओर और दूसरा $5 \, m/s$ के वेग से दूसरे सिरे की ओर गति करता है। यदि कणों और छड़ के बीच टक्कर पूरी तरह से प्रत्यास्थ है और दोनों कण एक साथ छड़ से टकराते हैं,तो टक्कर के बाद छड़ के द्रव्यमान केंद्र का वेग $m/s$ में ज्ञात कीजिए।

$M$ द्रव्यमान के एक ब्लॉक में दिखाए अनुसार घर्षण रहित सतह के साथ एक गोलाकार कट है। ब्लॉक एक स्थिर मेज की क्षैतिज घर्षण रहित सतह पर रखा है। प्रारंभ में,ब्लॉक का दायां किनारा मेज से जुड़ी एक समन्वय प्रणाली में $x=0$ पर है। एक बिंदु द्रव्यमान $m$ को दिखाए अनुसार पथ के सबसे ऊपरी बिंदु से विरामावस्था से छोड़ा जाता है और यह नीचे की ओर फिसलता है। जब द्रव्यमान ब्लॉक के साथ संपर्क खो देता है,तो इसकी स्थिति $x$ है और वेग $v$ है। उस क्षण,निम्नलिखित में से कौन सा/से विकल्प सही है/हैं?
$[A]$ ब्लॉक $M$ के द्रव्यमान केंद्र के विस्थापन का $x$ घटक: $-\frac{m R}{M+m}$ है।
$[B]$ बिंदु द्रव्यमान की स्थिति: $x=-\sqrt{2} \frac{mR}{M+m}$ है।
$[C]$ बिंदु द्रव्यमान $m$ का वेग: $v=\sqrt{\frac{2 g R}{1+\frac{m}{M}}}$ है।
$[D]$ ब्लॉक $M$ का वेग: $V=-\frac{m}{M} \sqrt{2 g R}$ है।

निम्नलिखित में से कौन से कथन सही हैं?
$(a)$ किसी पिंड का द्रव्यमान केंद्र हमेशा उस पिंड के गुरुत्व केंद्र के साथ संपाती होता है।
$(b)$ किसी पिंड का द्रव्यमान केंद्र वह बिंदु है जिस पर पिंड पर कुल गुरुत्वाकर्षण बल आघूर्ण शून्य होता है।
$(c)$ किसी पिंड पर लगा बल-युग्म (couple) पिंड में स्थानांतरण और घूर्णन गति दोनों उत्पन्न करता है।
$(d)$ यांत्रिक लाभ (Mechanical advantage) $1$ से अधिक होने का अर्थ है कि बड़े भार को उठाने के लिए छोटे प्रयास का उपयोग किया जा सकता है।

$R$ त्रिज्या और $M$ द्रव्यमान का एक पहिया $R$ ऊँचाई की एक स्थिर सीढ़ी के निचले भाग पर चित्र में दिखाए अनुसार रखा गया है। पहिये की सतह पर लगातार एक स्थिर बल लगाया जाता है ताकि वह बिना फिसले सीढ़ी पर चढ़ सके। बिंदु $Q$ से गुजरने वाली और कागज के तल के लंबवत अक्ष के परितः टॉर्क $\tau$ पर विचार करें। निम्नलिखित में से कौन सा/से विकल्प सही है/हैं?